Dwusieczne 123: W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki AB i AC tego trójkąta w punktach – odpowiednio – L i K . Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Długości boków trójkąta ABC spełniają warunki: |AB |+ |AC | = 1 oraz |BC |² + 3|AC | = 3|AC |² + 1. Udowodnij, że punkt A leży na okręgu opisanym na trójkącie KLP .

mttn_mk: Zauważmy że wystarczy dowieść że α = π/3 (60 stopni). Wtedy na wielokącie AC'PB' (punkty C' oraz B' zastępują podane w treści zadania − odpowiednio L i K, ponieważ odpowiednie indeksowanie to skarb) da się opisać okrąg. Jako że taki okręg jest tylko jeden to jest on też okręgiem opisanym na C'PB'(KLP). Następnie wykorzystamy twierdzenie cosinusów: c² + b² −2cb cos α = a² przy czym a, b i c to boki leżące naprzeciw odpowiednio wierzchołków A,B i C.

mttn_mk: Resztę pozostawiam tobie, jak nie pójdzie to napisz, zerknę tu jutro.

123: Tak zrobiłem bez pomocy dzięki