Uzasadnij, że k jest pierwiastkiem wielomianu W(x). paul: O wielomianie W(x) =x³+bx+cx+d, wiadomo, że posiada trzy różne niezerowe pierwiastki, których

	1
suma wynosi k, a suma odwrotności		, gdzie k jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą.
	k

Uzasadnij, że k jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Wiem, że trzeba wykorzystać wzory vietta wielomianu 3−go stopnia, ale nic mi nie wychodzi.

a7: x₁+x₂+x₃=k=−b

1		1		x1x2+x2x3+x1x3		1		c
	+U[1}{x2}+		=		=		=−
x1		x−3		x1x2x3		k		d

czyli 1/k=−1/b=−c/d czyli 1/b=c/d czyli d=bc W(k)=k³−kb+kc+bc=k*(k²−b)+c(k+b)=k*(k−b)(k+b)+c(k+b)=(k+b)*[k*(k−b)+c} W(k)=o⇔ (1*)k+b=0 v (2*) k²−bk+c=0 (1*)k=−b c.n.u. chyba o to chodziło?

ABC: niech x₁,x₂,x₃ pierwiastki na mocy założeń

1		1		1		1		1
	=		=		+		+		mnożymy stronami przez x1x2x3
k		x1+x2+x3		x1		x2		x3

x1x2x3
	=x2x3+x1x3+x1x2 mnożymy stronami przez x1+x2+x3
x1+x2+x3

x₁x₂x₃=x₂ x₁² + x₃ x₁² + x₂² x₁ + x₃² x₁ + 3 x₁ x₂ x₃ + x₂ x₃² + x₂² x₃ przenosimy na jedną stronę : 0=x₂ x₁² + x₃ x₁² + x₂² x₁ + x₃² x₁ + 2 x₁ x₂ x₃ + x₂ x₃² + x₂² x₃ i to się zwija , kto nie wierzy niech wymnoży (a+b)(b+c)(a+c) przez siebie : 0=(x₁+x₂)(x₂+x₃)(x₁+x₃) stąd x₁=−x₂ lub x₂=−x₃ lub x₁=−x₃ ale pamiętając że k=x₁+x₂+x₃ mamy tezę

paul: dziękuję