Podzielnosc 5" - 2" przez 9 tomeczek2: Dla ktorych z podanych liczb n liczba 5" − 2" jest podzielna przez 9? n = 60 n = 33 n = 20 n = 45 Probowalem cos dzialac wzorami skroconego mnozenia ale nic na razie nie wyszlo

chichi: co oznacza zapis 5^''

tomeczek2: Kurcze, nie zauwazylem, ze sie tak dziwnie skopiowalo. Mialo tam byc po prostu "n".

wredulus_pospolitus: 5^a − 2^a = (5−2)*(5^a−1 + 5^a−22¹ + ... + 5^a−k*2^k−1 + .... + 5¹*2^a−2 + 2^a−1)

wredulus_pospolitus: tak więc −−− pytanie brzmi kiedy drugi nawias będzie podzielny przez 3

ABC: Jak ci nie wyszło wzorami skróconego mnożenia jeśli 5³−2³=125−8 =117 ,a to się dzieli przez 9 ? zatem dla 60,33,45 odpowiedź pozytywna bo są postaci 3p dla pewnego p a dla 20 sam udowodnij że się nie podzieli

tomeczek2: nadal nie wiem jak to zrobic

ABC: cienki jesteś jak drut wolframowy w dawnych żarówkach 5⁶⁰−2⁶⁰=(5³)²⁰−(2³)²⁰= (wzór wredulusa) = (5³−2³) (coś) =117*coś =9*13*coś i analogicznie pozostałe które dzielą się przez 3

tomeczek2: pocisk z rigczem, za to dla 20 nadal nie wiem jak uzasadnic ze sie nie da niestety

ABC: zmień pracę ,weź kredyt , nie musisz się zajmować matematyką

tomeczek2: no niestety poki chodze do szkoly to musze:(

ABC: takich zadań jak wyżej nie ma na podstawie , zmień rozszerzenie na angielski i spokój masz

tomeczek2: angielski juz rozszerzam lol

tomeczek2: ale nadal wolalabym sie mimo wszystko dowiedziec jak to rozwiazac

tomeczek2: moglby mi ktos pomoc z tym zadaniem prosze

ABC: Nie pokazałeś leniu nic wkładu własnego , żadnego prób, ja ci więcej nie pomogę

tomeczek2: chodzi o to że jedyny sposób jaki znam na udowodnienie to zrobienie z czegoś 9k + (1,2,3,4,5,6,7,8) a nie mam pojęcia jak z tej różnicy zrobić sumę takiej właśnie postaci

k: Sprawdź jakie reszty z dzielenia przez 9 dają kolejne potęgi liczb 5 i 2. Zauważysz, że się zapętlają.

tomeczek2: sprawdzilem roznice od 5¹ − 2¹ do 5⁵ − 2⁵ i zauwazam ze dla potegi 3 reszta jest rowna 0 a dla pozostalych jest rowna 3 zatem nie sa one podzielne tylko teraz jak to zapisac dowodowo

k: sprawdź potęgi liczb 5 i 2 a nie ich różnice. Zauważysz, że 5² daje taką samą resztę z dzielenia przez 9 jak 5⁸ , 5¹⁴ i 5²⁰ i jest to 7 Analogicznie jest dla 2² , 2⁸ , 2¹⁴ , 2²⁰ z resztą 4. Czyli 5²⁰ − 2²⁰ daje z dzielenia przez 9 resztę 7 − 4 = 3. Podzielne, więc nie jest.

tomeczek2: Jak mam sprawdzić resztę z dzielenia takiej dużej liczby jak np. 5¹⁴?

Mila: 5²⁰−2²⁰=(5⁵)⁴−(2⁵)⁴=((5⁵)²−(2⁵)²)*((5⁵)²+2⁵)²)= =(5⁵−2⁵)*(5⁵+2⁵)*[(5⁵)²+2⁵)²]= =(5⁵−2⁵)*(5⁵+2⁵)*[(5¹⁰+(2¹⁰] dalej: 1) (5⁵−2⁵)= licz z wzoru albo kalkulator to jest podzielne przez 3 2) (5⁵+2⁵) wystarczy nam podzielność przez 3 5²=3k+1 5⁵=5²*5²*5=(3k+1 )*(3k+1)*(3+2)= 3p+2 , p∊N ( mnożysz reszty ) 2⁵=32 =3*10+2 5⁵+2⁵=3p+2+3*10+2=3(p+10) +4=3(p+10)+3+1 reszta 1 liczba (5⁵+2⁵) nie jest podzielna przez 3 3) 5¹⁰=(5²)⁵=(3k+1)⁵ =3*(m)+1 reszta 1 2¹⁰=(2⁵)²=(3a+2)*(3a+2)=.. dokończysz teraz?

tomeczek2: = 3b + 4 reszta 4 5¹⁰ + 2¹⁰ = 3m + 1 + 3b + 4 = 3n + 2 nie jest podzielne przez 3 cały iloczyn = [3x] * [(3y + 1) * (3z + 2)] = (podzielne przez 3(ale nie 9)) * (niepodzielne przez 3) = niepodzielne przez 3 dobrze to robie? o to chodzi?

tomeczek2: *na końcu chodziło mi o niepodzielne przez 9 a nie 3

Mila: Reszta z dzielenia przez 3 jest mniejsza od 3 . (0,1,2} Może być, ale zapis pierwszej linijki: 3b+1=3b+4=3b+3+1=3(b+1)+1 reszta 1 dalej dobrze.

tomeczek2: rozumiem dziekuje slicznie za pomoc

Mila:

an: dla n=3k (3+2)^3k−2^3k=(3³+3*3²+3*3*2²+2³)^k−2^3k=9(3^3k−2.......)+2^3k −2^3k jak widać dla n podzielnego przez 3 wyrażenie jest podzielne przez 9

an: tomeczku2 a wiesz już co z pozostałymi n

circle: Ad 22:22 zamiast [3x] powinieneś zapisać 3*1031, aby pokazać, że 5⁵−2⁵ dzieli się przez 3 i nie dzieli się przez 9.

dr Wolf (katedra algebry mat.): czy znasz cechę podzielności przez 9? dr. Anatol Wolf, katedra całek i algebry matematycznej uniwersytetu

an: 5^3k+1−2^3k+1=(3+2)^3k+1−2^3k+1=5*(33+3*32+3*3*22+2³)^k−2*2^3k= =5*9*(3^3k−2.......)+2*2^3k −2^3k=5*9*(3^3k−2+.......)+2^3k niepodzielne przez 9 (3+2)^3k+2−2^3k+2=25*9*(3^3k−2+.......)+25*2^3k −2^3k= =25*9*(3^3k−2+.......)+24*2^3k niepodzielne przez 9

tomeczek2: dziekuje za Wasze odpowiedzi, Mila mi juz wytlumaczyła

mydlix: 5ⁿ−2ⁿ=3*(5ⁿ⁻¹+5ⁿ⁻²2+5ⁿ⁻³2²+...+5²2ⁿ⁻³+5*2ⁿ⁻²+2ⁿ⁻¹) z tożsamości nieśmiertelnej. Jeśli 9 ma dzielić 5ⁿ−2ⁿ, to oczywiście drugi nawias musi być podzielny przez 3. Jako, że 5≡2 (mod 3), to 5ⁿ⁻¹+5ⁿ⁻²2+5ⁿ⁻³2²+...+5²2ⁿ⁻³+5*2ⁿ⁻²+2ⁿ⁻¹ ≡ n5ⁿ⁻¹ (mod 3), czyli n musi być podzielne przez 3 Można też skorzystać z LTE (lub LZW), jeśli ktoś zna: jako że 3 dzieli 5−2 oraz 3 nie dzieli 5*2, to można napisać: 2≤v₃(5ⁿ−2ⁿ)=v₃(5−2)+v₃(n)=1+v₃(n) skąd v₃(n)≥1, czyli 3 musi dzielić n Z obu sposobów wynika, że 9 dzieli 5ⁿ−2ⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy 3 dzieli n.

mydlix: Trudniejsze zadanie: wykazać, że jeśli n dzieli 5ⁿ−2ⁿ, to 3 dzieli n