Planimetria silnia: Punkt A = (2,4) jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego ABC , a punkt O(8, 4−2√3) jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta

Jolanta: Pierwsze co mi do głowy przyszło W trójkącie rownobocznym wysokości przecinają sie w stosunku 2:1 Odległość od A do O to 2/3 h

getin: Będzie trzeba to wykorzystać Niech S będzie środkiem odcinka BC, wówczas odcinek AS będzie wysokością trójkąta ABC

	2+8		4+4−2√3
Niech T będzie środkiem odcinka AO, wówczas T = (		,		) = (5, 4−√3)
	2		2

Punkt O jest środkiem odcinka TS, więc musi być S = (11, 4−3√3) |AO| = √(8−2)²+(4−2√3−4)² = √36+12 = √48 = 4√3

2
	h = 4√3
3

h = 6√3

a*√3
	= 6√3
2

a*√3 = 12√3 a = 12

1
	a = 6
2

Wektor AS^→ = [9, −3√3], długość tego wektora to |AS^→| = 6√3 Wektor SB^→ = [a, b], długość tego wektora to połowa boku trójkąta, zatem |SB^→| = 6 czyli √a²+b² = 6 zatem a²+b² = 36 Iloczyn skalarny wektorów AS^→ i SB^→ musi być równy zero bo są prostopadłe [9, −3√3] * [a,b] = 0 9a − 3√3b = 0 3√3b = 9a

	3√3
b =		a
	9

	√3
b =		a
	3

a² + b² = 36

	√3
a2 + (		a)2 = 36
	3

	1
a2 +		a2 = 36
	3

4
	a2 = 36
3

a² = 27 a = 3√3 lub a = −3√3 b = 3 lub b = −3 BS^→ = [3√3, 3] lub BS^→ = [−3√3, −3] Dla SB^→ = [3√3, 3] otrzymujemy B = (11+3√3, 4−3√3+3) = (11+3√3, 7−3√3) oraz C = (11−3√3, 4−3√3−3) = (11−3√3, 1−3√3) Dla SB^→ = [−3√3, −3] współrzędne punktów B i C zamienią się tylko miejscami

jc: O=(8, 4−2√3) A = (2, 4) B=O + R (A−O) C=O + R⁻¹ (A−O) R = obrót o 120 stopni B = (8, 4−6√3), C=(14, 4)