Wielomian trzeciego stopnia Buba: Dany jest wielomian W(x) trzeciego stopnia W(x) = ax³ + bx² + cx + d. Przyjmuje on wartość całkowitą dla każdej liczby całkowitej x. Zaznacz prawdziwe stwierdzenia. A. a+c jest zawsze liczbą całkowitą. B. 5b−a−c jest zawsze liczbą całkowitą. C. a+b+c jest zawsze liczbą całkowitą. D. a,b,c,d muszą być liczbami całkowitymi. Proszę, pomóżcie. Kompletnie nie wiem jak nawet zacząć.

ABC z roboty: zacząć możesz tak f(0) =d więc d jest całkowite ale f(1)= a+b+c+d jest calkowite więc a+b+c= (a+b+c+d)−d jest całkowite jako różnica dwóch liczb całkowitych I dalej w podobnych klimatach

Buba: Bardzo dziękuję, spróbuję. Dam znać jak poszło

Buba: Oprócz tego co Ty wykazałeś (C.) udało mi się jeszcze tylko dojść do B. Nie wiem jak z pozostałymi podpunktami

ABC: znam warunki równoważne aby taki wielomian przyjmował całkowite dla wszystkich całkowitych ale sam dowód tych warunków jest zadaniem olimpijskim nie najłatwiejszym , i nie chce mi się myśleć czy z tych warunków wynikają twoje może ktoś zna prostszy sposób i się podzieli z tobą

mm: licząc W(2) 8a+4b +2c+d ∊ Z Licząc W(−2) −8a+4b−2c+d∊Z zatem 8b + 2d ∊Z (dodając stronami) więc b∊Z, bo d∊Z Licząc W(1) a+b+c+d ∊Z więc 8a+8b+8c+8d∊Z dodajac do siebie −8a+4b−2c+d oraz 8a+8b+8c+8d mamy 12b+6c+d∊Z jako ze b,d∊Z wiec c∊Z wracajac do tego czym jest W(2) tez mozna wywnioskowac teraz ze a∊Z

ABC: z tego że 8b+2d jest całkowite niestety nie musi wynikać że b jest całkowite, a tylko że 8b jest całkowite b mogłoby być równe 1/8 i wszystko gra

ABC: podam ten warunek równoważny (zadanie olimpijskie) : ax³ + bx² + cx + d przyjmuje wartości całkowite dla każdej liczby cakowitej wtedy i tylko wtedy gdy liczby 6a, 2b ,a+b+c , d są wszystkie całkowite

mm: masz racje!

tomeczek2: i jak masz juz poprawne rozw?

Buba: Niestety na razie doszłam tylko do punktu B i C, nie wiem co z innymi.