Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb R? aleks: Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) = [ 3x²−4mx+5 ] / [(m+2)x⁴ +6(m+2)x² + m² ] jest zbiór liczb rzeczywistych? Mianownik nie może być równy 0, z deltą pojawiają mi się pierwiastki, a odpowiedzią powinno być m ∊ <−2, 0) U (0, +∞), nie wiem jak do niej dojść

EMMOI: Musimy sprawdzić dla jakich m mianownik nie ma miejsc zerowych. Jeżeli m = − 2 , to w mianowniku mamy 4 i jest OK. Jeżeli m ≠− 2 to mamy w mianowniku funkcję kwadratową. Podstawiając x² = t mamy trójmian f(t) = (m + 2 )t² + 6(m + 2)t+ m² i musimy sprawdzić kiedy f (t) ≠ 0 dla t ∈ ⟨0,+ ∞ ) (bo takie wartości przyjmuje t = x²). Zauważmy, że f(0) = m 2 ≥ 0 , zatem gdyby współczynnik przy t² był ujemny, to funkcja f musiałaby mieć nieujemny pierwiastek i byłoby źle. Zatem musi być m + 2 > 0 ⇒ m > − 2. Zauważmy ponadto, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną równą W(x)=−b/ 2a= − 3. W połączeniu z warunkiem f(0 ) = m 2 oznacza to, że f(t) > 0 dla t ≥ 0 o ile tylko m ≠ 0 (funkcja rośnie na prawo od −3, jeżeli więc f(0) > 0 , to taka sama nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb dodatnich).