udowodnij tomek: x³ + 3x² y ≥ 4y³ dla x ≥ y czy dobrze rozwiazalem? (x−y)³ + 6x²y − 3xy² + y³ − 4y³ ≥ 0 (x−y)³ + 3x² y + 3x² y −3xy² − 3y³ (x−y)³ + 3xy(x−y) + 3y(x² − y²)

ABC: nie lepiej przenieść x³+3x²y−4y³≥0 zauważyć że x=y daje miejsce zerowe , podzielić hornerem, zauważyć wzór skróconego mnożenia i dojść do postaci (x−y)(2y+1)²≥0 ?

chichi: przeciez to nie jest "rozwiązane"

tomek: a czego brakuje? Lewa strone wieksza od zera

chichi: po pierwsze przekształcałeś równoważnie, a gdzieś zgubiłeś nierówność, po drugie gdzie jest niby uzasadnione, że prawa strona jest nieujemna?

tomek: co (x−y)³ + 3xy(x−y) + 3y(x² − y²) ≥ 0 to nie jest prawda ? skoro x≥y x−y≥0

chichi: nie zostało to jeszcze pokazane...

chichi: z tej postaci jeszcze nic nie wynika

ABC: napisałem ci jak to można prościej u ciebie może być tak , że x≥y ale x,y są przeciwnych znaków na przykład x=2, y=−5 i wtedy 3xy(x−y) może być ujemne

chichi: @ABC otóż to... 3y(x² − y²) np. dla x = 5, y = −1 też jest ujemne

tomek: to jak

ABC: pisałem już o 18:42 tylko tam licząc w pamięci się pomyliłem: x³+3x²y−4y³≥0 zauważasz że gdy x=y to się zeruje , dzielisz przez dwumian (x−y) i dostajesz (x−y)(x+2y)²≥0

tomek: w jakim sensie x=y sie zeruje

ABC: normalnie się zeruje gdy x=y y³+3y²y−4y³=y³+3y³−4y³=4y³−4y³=0 normalny dwumian i tw Bezout, tylko nie (x−1) czy (x+2) a (x−y) i normalna tabelka do metody hornera

Mila: x³+3x²y−4y³≥ ?0 L=x³+(3x²y−3y³)−y³=(x³−y³)+3y(x²−y²)= =(x−y)*(x²+xy+y²)+3y(x−y)*(x+y)= =(x−y)*(x²+xy+y²+3xy+3y²)= =(x−y)*(x²+4xy+4y²)=(x−y)*(x+2y)²≥0

ABC: tak też można ale dla przeciętnego ucznia nie będzie łatwo na to wpaść , a suma współczynników równa zero ja swoim kładę łopatą do głowy po 20 razy więc mogą łatwiej zauważyć ja oczywiście doceniam eleganckie przekształcenia

tomek: a mam pytanie czy zawsze jest mozliwy jakis inny spsob na rozwiazanie takich rownan wymagajacych przeksztalcen inny niz kreatywne wpadniecie na przeksztalcenie jak pokazala mila? Czy nie zawsze pomocne jest odgadniecie tego czynnika co zeruje?

tomek: bo mi zazwyczaj ciezko wymyslec jakies przeksztalcenie i nigdy mi nie wychodza takie zadania

jc: Możesz tak: x=y+t, t ≥ 0. Dalej samo wyjdzie. Zakładam, że znasz wzór na drugą i trzecią potęgę sumy. x³+3x²y − 4y³ = (y+t)³ + 3y(y+t)² − 4y³ = 9y² + 6yt²+t³ = t (9y² + 6yt + t²) = t (3y+t)² Jak nie rozpoznasz kwadratu, to możesz policzyć Δ.

tomek: no ale mi juz nawet nie chodzi o ten przyklad tylko uniwersalnie. Czy jest jakas droga chocby szukania tych dzielnikow zeby nie musiec kombinowac z tymi przeksztalceniami?

jc: Jeśli dla x=y otrzymujesz zero, to wyłącza się x−y. Zamiast dzielić, możesz wprowadzić zmienną t=x−y, czyli x=y+t lub y=x−t i podstawić. t samo się wyłączy.

tomek: nie o to pytam

tomek: chodzi mi o ogolnie podejscie do takich zadan

ABC: ogólnie to albo jesteś wrodzony geniusz , albo zbierasz doświadczenia rozwiązując tysiące zadań i przyswajając sposoby od mądrych ludzi

tomek: czyli ten sposób szukania dzielnika i potem dzielenia tych wielomianów przez niego nie działa zawsze