Zadania na zbiorach - wykazywanie L = P Jan: Sprawdź, czy podane zbiory są sobie równe? a) A \ (B * C) = (A \ B) * (A \ C) b) (A * B) ∩ (B * A) = (A ∩ B) * (B ∩ A) * oznacza iloczyn kartezjański Dla przykładu a) udało mi się dotrzeć do takiego etapu: L = (x,y) ∊ A \ (B * C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ ~(x,y) ∊ (B * C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ ~(x ∊ B ⋀ y ∊ C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ (x ∉ B ⋁ y ∉ C) ⇔ ((x,y) ∊ A ⋀ x ∉ B) ⋁ ((x,y) ∊ A ⋀ y ∉ C) ⇔ i dalej nie wiem

ite: Rozwiązywanie takich zadań warto zacząć od sprawdzenia na jakichś zbiorach, jak będzie wyglądać lewa a jak prawa strona równości. Łatwiej wtedy będzie szukać sposobu potwierdzenia równości lub znaleźć kontrprzykład zaprzeczający równości. W przykładzie a) spróbuj zapisać te działania dla np. A=B=C=ℕ albo krócej A=B=C={a,b} .

Jan: A=B=C={x,y} L = (x,y) ∊ A \ (B * C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ ~(x,y) ∊ (B * C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ ~(x ∊ B ⋀ y ∊ C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ (x ∉ B ⋁ y ∉ C) ⇔ ((x,y) ∊ A ⋀ x ∉ B) ⋁ ((x,y) ∊ A ⋀ y ∉ C) P = (x,y) ∊ (A \ B) * (A \ C) ⇔ x ∊ (A \ B) ⋀ y ∊ (A \ C) ⇔ (x ∊ A ⋀ x ∉ B) ⋀ (y ∊ A ⋀ y ∉ C) ⇔ (x,y) ∊ A ⋀ (x ∉ B ⋀ y ∉ C) ⇔ ((x,y) ∊ A ⋀ x ∉ B) ⋀ ((x,y) ∊ A ⋀ y ∉ B) L≠P Udało mi się coś takiego dowieść. Czy to jest poprawnie rozwiązane dla podpunktu a) ?

ite: To, co zapisujesz o 20:28, to są dwie różne rzeczy. 1. Jeśli sprawdzasz równość, dla A=B=C={x,y}, to otrzymujesz konkretny iloczyn kartezjański B✖C ={(x,x), (x,y), (y,x), (y,y)} i wtedy L = A \ (B * C) = {x,y} \ {(x,x), (x,y), (y,x), (y,y)} = {x,y} oraz A \ B = {x,y} \ {x,y} = ∅ a także A \ C = {x,y} \ {x,y} = ∅ więc (A \ B)✖(A \ C) = ∅ I tu widać, że dla A=B=C={x,y} równość nie zachodzi. Podanie tego kontrprzykładu jest już wystarczającym sprawdzeniem, że podane w punkcie a) zbiory nie są sobie równe zawsze (czyli istnieją takie zbiory dla których równość nie jest prawdą). Zapis, który zaczyna się od L = (x,y) ∊ A \ (B * C) .... zawiera błędy. Np. z faktu x ∊ A ⋀ y ∊ A NIE wynika, że para (x,y) ∊ A Więc nie jest to prawidłowe rozwiązanie.

ite: Te symbole x, y z drugiej części zapisu z 20:48 nie mają nic wspólnego ze elementami przykładowych zbiorów z pierwszej części A=B=C={x,y}, co jeszcze zaciemnia obraz.