Rozwiązywanie równania w liczbach naturalnych getin: Witam, mam takie zadanie: Rozwiąż równanie x²+y² = 5z² w liczbach naturalnych tak, aby x,y,z wyrażały długości boków trójkąta

ABC: 22²+19²=484+361=845=5*169=5*13² 13,19,22 można zbudować trójkąt użyłem tożsamości: (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad−bc)² nie każda trójka pitagorejska po transformacji buduje trójkąt , (3,4,5) przechodzi na (10,5,5) które jest rozwiązaniem ale trójkąt degeneruje się, nie chce mi się ogólnej teorii tworzyć w niedzielę rano

getin: Okej, dzięki − a jak działa ta transformacja (3,4,5) na (10,5,5) ? I skąd mam wiedzieć która trójka pitagorejska da się przerobić na trójkę spełniającą równanie i jednocześnie tworzącą niezdegenerowany Δ ?

ABC: myślałem że tobie wystarczy zarzucić krótką wskazówkę : (p,q,r) trójka pitagorejska p²+q²=r² 5(p²+q²)=5r² (2²+1²)(p²+q²)=5r² teraz z tej tożsamości a=2,b=1,c=p,d=q (2p+q)²+(2q−p)²=5r² czyli trójka (2p+q, 2q−p,r) jest zawsze rozwiązaniem transformowanym z (p,q,r) ale jak mówiłem tworzyć teorii kiedy to rozwiązanie spełnia warunek trójkata nie chce mi się

jc: Inna propozycja: x=2(a²+ab−b²) y=a²+4ab−b² z=a²+b² b < a < 2b Dla b=2, a= 3 mamy rozwiązanie cytowane powyżej. Wzorowałem się na Diofantesie, ale rozwiązanie ABC bardziej mi się podoba.

getin: Robiłem wczoraj zadanie konkursowe i w pewnym momencie przyszło mi z czymś takim się zmierzyć i po prostu nie umiałem. Okazało się że nie znałem tego triku. Dzięki wszystkim za rozpisanie

Mila: Napisz to zadanie. Ciekawi mnie.

getin: W pewnym trójkącie ABC środkowe dwóch boków przecinają się pod kątem prostym. Spośród wszystkich trójkątów o tej własności i całkowitych długościach boków wybrać taki, który ma najmniejszy obwód. Podaj długości boków x ≤ y ≤ z tego trójkąta w kolejności niemalejącej. Trochę korzystałem z własności środkowych i podobieństwa trójkątów i wyszło mi z tego to równanie x² + y² = 5z², które mnie pokonało i nie umiałem z tego wyjść