udowodnij tarcza: udowodnij ze suma szescianow trzech kolejnych liczb calkowitych niepodzielnych przez 4 jest podzielne przez 36 (4k + 1)³ + (4k +2)³ + (4k + 3)³ = 12(16k³ + 24k² + 14k + 3) i nie wiem co dalej zawsze mam problem jak wymyslic dalej przeksztalcenie w takich zadaniach. Czy jest na to jakis sposob jak to jakos podzielic czy cos

wredulus_pospolitus: ja bym to inaczej zapisał: a = 4k+2 (a−1)³ + a³ + (a+1)³ = 3a³ + 6a = 3a(a² + 2) = 3(4k+2)( (4k+2)² + 2) = = 6(2k+1)( 16k² + 16k + 6) = 12(2k+1)( 8k² + 8k + 3) Zauważ, że: jeżeli k (mod 3) = 0 −−−> (8k² + 8k + 3) (mod 3) = 0 jeżeli k (mod 3) = 1 −−−> (2k+1) (mod 3) = 0 jeżeli k (mod 3) = 2 −−−> (2k+1) (mod 3) = 0 W efekcie któryś z nawiasów będzie podzielny przez 3 ... więc całość będzie podzielna przez 12*3 = 36

:?: 12(2k+1)( 8k2 + 8k + 3)=12(2k+1)*2*2k(2k+2)+12(2k+1)* 3=2*12(2k)(2k+1)(2k+2)+36(2k+1)

tarcza: co to to k mod

. : a (mod b) = c Oznacza: c jest reszta z dzielenia liczby a przez liczbę b

. : a (mod b) = c można zapisać jako: a = b*n + c

tarcza: a tego mojego nie da sie nijak rozlozyc jakos

Mila: 4n− liczba podzielna przez 4 dla n∊C 4n−1,4n−2, 4n−3 − trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez 4 ( podane odwrotnie) S=(4n−1)³+(4n−2)³+(4n−3 )³=192n³−288n²+168n−36 S=12*(16n³−24n²+14n−3)=12*(2n−1)*(8n²−8n+3) Wykazujemy , że liczba (8n²−8n+3) jest wielokrotnością liczby 3 8n²−8n+3)=8n*(n²−1)+3=8n*(n−1)*(n+1)+3 jest podzielne przez 3 bo 3| [(n−1)*n*(n+1)] Zapisz ładnie S i koniec

tarcza: no ale mi o to wlasnie chodzi jak wymyslilas to przeksztalcenie? 12*(16n3−24n2+14n−3)=12*(2n−1)*(8n2−8n+3)

Mila: (16n³−24n²+14n−3)= =16n³−8n²−16n²+8n+6n−3= 8n²*(2n−1)−8n*(2n−1)+3*(2n−1)= =(2n−1)(8n²−8n+3)

tarcza: skad wy wpadacie na takie pomysly to ja nie wiem

Mila: Praktyka. Może coś łatwiejszego wymyślę, to napiszę, zaglądaj. To będzie trochę później.

tarcza: (4k + 1)³ + (4k +2)³ + (4k + 3)³ = 12(16k³ + 24k² + 14k + 3) =12 (8k² + 8k + 3)(2k+1) a jak zapisalem tym swoim podejsciem tak to da sie to jakos uzasadnic ze jest podzielne przez 36?

getin: Tak − wystarczy pokazać że (8k²+8k+3)(2k+1) jest podzielne przez 3 Rozważamy trzy przypadki ze względu na liczbę k 1) k może być podzielne przez 3, tzn. k = 3p 2) k może mieć resztę 1 z dzielenia przez 3, czyli k = 3p+1 3) k może mieć resztę 2, czyli k = 3p+2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1) Dla k = 3p otrzymujemy [8(3p)²+8*3p+3]*(6p+1) = (72p²+24p+3)(6p+1) = = 3(24p²+8p+1)(6p+1) czyli liczba jest podzielna przez 3 2) Dla k = 3p+1 dostajemy [8(3p+1)²+8*(3p+1)+3]*[2(3p+1)+1] = [8(3p+1)²+8*(3p+1)+3]*(6p+3) = = 3[8(3p+1)²+8*(3p+1)+3]*(2p+1) czyli też mamy pokazaną podzielność przez 3 3) Dla k = 3p+2 dostajemy [8(3p+2)²+8*(3p+2)+3]*[2(3p+2)+1] = = [8(9p²+12p+4)+24p+16+3]*(6p+5) = (72p²+96p+32+24p+19)(6p+5) = = (72p²+120p+51)(6p+5) = 3(24p²+40p+17)(6p+5) − też liczba jest podzielna przez 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Jeśli liczba (8k²+8k+3)(2k+1) jest podzielna przez 3 dla każdej liczby całkowitej k, tzn. (8k²+8k+3)(2k+1) = 3t, to można zapisać 12*(8k²+8k+3)(2k+1) = 12*3t = 36t i koniec zadania − pokazaliśmy że liczba jest podzielna przez 36

tarcza: a taki sposób że rozważam takie 3 przypadki z dzielenia podstawiając w tym wypadku pod k liczby z p jest taki ze moze sie przydac w innych zadaniach? Bo zawsze mam problem z udowodnieniem tej podzielnosci a to wydaje sie fajne tylko nie wiem czy uniwersalne

Mila: Możesz też tak: c.d 00:21 (4k + 1)³ + (4k +2)³ + (4k + 3)³ = 12*(16k³ + 24k² + 14k + 3= =12*(15k³+24k²+15k+3+k³−k= =12*(15k³+24k²+15k+3+k*(k²−1) )= ostatni składnik sumy jest podzielny przez 3 bo k*(k−1)*(k+1)=3m, m∊C =12*3*(5k³+8k²+5k+1+m)=36*p gdzie p∊C

getin: Taki sposób jest uniwersalny, tylko musisz pamiętać, że jeśli udowadniasz w ten sposób np. podzielność przez 4, to już (w ogólnym przypadku) musisz 4 rozważyć 4 przypadki: 1) k = 4p 2) k = 4p+1 3) k = 4p+2 4) k = 4p+3

getin: O właśnie − też dobry sposób z tym iloczynem k*(k−1)*(k+1) Taki iloczyn jest podzielny zawsze przez 3, a nawet przez 6, bo jedna z trzech kolejnych liczb całkowitych musi być podzielna przez 3, oraz co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta (czyli podzielna przez 2)