nierówność trygonometryczna mar: Rozwiąż nierówność w przedziale <0,2pi>

1		2
	>
1+cos2x		3

Rozwiązałem równanie

1		2
	=
1+cos2x		3

2+2cos2x = 3 2cos2x = 1 cos2x = 1/2 2x = pi/3 + 2k*pi lub 2x = 10/6 * pi + 2k*pi x = pi/6 + k*pi lub x = 5/6*pi + k*pi Rozwiązaniem nierówności będzie przedział i generalnie mam problem z wyznaczaniem tych przedziałów Robię to tak, że sprawdzam nierówność dla dowolnego x np. x=pi, nierówność jest nieprawdziwa, a że wartość dla tego x leży powyżej linii 1/2 to rozwiązaniem będą te przedziały dla których y leży poniżej 1/2. Czyli (pi/6 , 5pi/6) U (7pi/6 , 11pi/6). Czy moje rozumowanie jest prawidłowe? I czy można jakoś inaczej rozwiązywać te nierówności?

Rafał: Najpierw wyznaczam dziedzinę nierówności. Wiemy, że nierówność ma być w przedziale <0, 2π>, zatem 0 ≤ 2x ≤ 2π 0 ≤ x ≤ π Dalej 1 + cos 2x musi być różne od zera. 1 + cos 2x ≠ 0 cos 2x ≠ −1 Korzystam z wzoru cos 2x = 1 − 2sin² x 1 − 2sin² x ≠ −1 −2sin² x ≠ −2 sin² x ≠ 1 Teraz rysujemy wykres funkcji y = sin x i rozpatrujemy na przedziale <0, π>. Wykres ten osiąga wartość 1 tylko dla argumentu x = ^π₂. Podobnie będzie z funkcją y = sin² x, na tym samym odcinku <0, π>, gdyż wartości od <0, 1> będą podnoszone do kwadratu i tylko w jednym przypadku będzie tak, że sin² x = 1, gdy x = ^π₂. Wówczas: sin² x ≠ 1 x ≠ ^π₂ Uwzględniając nasze wszystkie warunki, wiemy, że x∊<0, ^π₂) ∪ (^π₂, π> Wracamy do nierówności. Oceńmy czy 1 + cos 2x będzie zawsze większy lub równy zero. 1 + cos 2x = 1 + 1 − 2sin² x = 2 − 2sin² x = 2(1 − sin² x) Wiemy, że na przedziale <0, π>, sin² x przyjmuje wartości od <0, 1>. Po uwzględnieniu naszego warunku na przedziale <0, ^π₂) ∪ (^π₂, π>, sin² x przyjmuje wartości od <0, 1). Natomiast 1 − sin² x przyjmuje wartości od (0, 1>. Następnie 2(1 − sin² x) przyjmuje wartości od (0, 2>. Czyli 1 + cos 2x również przyjmuje wartości od (0, 2>. Zatem mnożymy naszą nierówność obustronnie przez (1 + cos 2x)

1		2
	>		/ * (1 + cos 2x)
1 + cos 2x		3

	2(1 + cos 2x)		3
1 >		/ *
	3		2

3
	> 1 + cos 2x
2

1
	> cos 2x
2

1
	> 1 − 2 (sin x)2
2

	1
2(sin x)2 >
	2

	1
(sin x)2 >
	4

Z racji, że obie strony są nieujemne to:

	1
sin x >
	2

Następnie rozwiązanie tej nierówności jest opisane tutaj 1604. Wówczas mamy:

	π		5π
x ∊ (		,		)
	6		6

	π		π
I po uwzględnieniu naszej dziedziny nierówności x ∊ <0,		)∪(		, π> ostatecznie
	2		2

mamy rozwiązanie

	π		π		π		5π
x ∊ (		,		) ∪ (		,		)
	6		2		2		6

Rafał: https://matematykaszkolna.pl/strona/1604.html

mar: WOW, dzięki za tak szczegółowe rozpisanie tego, super! Faktycznie zapomniałem o dziedzinie i nie wiem czemu nie sprawdziłem, że mianownik jest zawsze dodatni wiec można przez niego pomnożyć. Ale jeszcze jedna rzecz. Może ja nieprecyzyjnie napisałem: "Rozwiąż nierówność w przedziale <0,2pi>" chodziło mi że x ma należeć do tego przedziału. A nie jak 2x, zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie również przedział

	7π		3π		3π		11π
x ∊ (		,		) U (		,		)
	6		2		2		6

mar: Czy tak?

Rafał: Faktycznie pomyliłem się, jak najbardziej jest jeszcze to powyższe rozwiązanie.