Algebra liniowa układ: Mam takie zadanko: dla podanej liczby a podać takie rzeczywiste liczby b oraz c, że dla każdego układu równań liniowych z trzema niewiadomymi, którego rozwiązaniami są [1, 2, 3] oraz [2, 5, 7] rozwiązaniem jest również [a, b, c]. Pomysł miałem taki, że skoro [1, 2, 3] i [2, 5, 7] są rozwiązaniami, to wystarczy, że [a, b, c] będzie kombinacją liniową tych rozwiązań. No to stąd by było, że wyznacznik macierzy złożonej z tych kolumn musiałby być równy 0. Wyznaczyłem wyznacznik i wyszła mi zależność c − b = a. I niby wszystko fajnie, ale nie gra mi niejednoznaczność takiego rozwiązania. Przykładowo, mam podane, że dla a = 5 mamy b = 14, c = 19. No i generalnie widzimy, że c − b = a, zgodnie z tym, co już wcześniej ustaliłem, ale gdyby podać na przykład c = 5, b = 0, to czy takie rozwiązanie też byłoby dobre? Zadanie samo w sobie jest zamknięte, nie muszę podawać uzasadnienia, tylko sam wynik, ale wobec tego nie powinno być jednoznaczne?

jc: Jeśli (1,2,3) i (2,5,7) są rozwiązaniami, to (a,b,c) = (1,2,3) + k [ (2,5,7) − (1,2,3) ] = (1,2,3) + t(1,3,4) = (0, −1, −1) + (t+1) (1,3,4) = (0, −1, −1) + a(1,3,4) =(a, 3a−1, 4a−1) też jest rozwiązaniem. (1,2,3), (2,5,7) spełniają układ równań: 2x−y=1 4x−z=1 Dlatego nic innego nie może być rozwiązaniem.

jc: Powtórzę: b=2a−1, c=4a−1

jc: Oj, powinno być 3x−y=1 4x−z=1 b=3a−1, c=4a−1

układ: Jedną rzecz może rozumiem, jednej na pewno nie. Zacznę od tego, co być może rozumiem. Z tego co widzę, to (a, b, c) przedstawiłeś jako kombinację liniową (1, 2, 3) oraz k[(2, 5, 7) − (1, 2, 3)] → tutaj nie wiem, czy do końca dobrze myślę. Domyślam się, że zarówno (1, 2, 3) oraz (2, 5, 7) to rozwiązania, które są sumą rozwiązań układu jednorodnego oraz rozwiązania szczególnego. Wobec tego k[...] jest kombinacją liniową dwóch rozwiązań układu jednorodnego, więc dodając (1, 2, 3) otrzymujemy sumę rozwiązań układu jednorodnego oraz niejednorodnego (zawarte w (1, 2, 3)). Zgadza się? A druga sprawa, tu już nie mam pomysłu − skąd wiadomo, że tak właśnie wygląda układ, który spełniają (1, 2, 3) oraz (2, 5, 7)?

jc: Trochę geometrii. Rozwiązaniem układu równań liniowych jest punkt, prosta lub płaszczyzna. Wiemy, że do rozwiązania należą dwa punkty, a więc cała prosta, na której musi leżeć trzeci punkt. Formalnie. Jeśli P i Q są rozwiązaniami, to nietrudno się przekonać, że P + t(Q−P) dla dowolnego t jest rozwiązaniem (wystarczy wstawić do układu równań). Czy może być coś jeszcze? Mogłoby być, ale jest powiedziane, że trzeci punkt ma być rozwiązaniem w przypadku dowolnych układów równań. Wybieram więc dwa równania określające wspomnianą prostą. Uzyskuje je eliminując parametr t. Można to zrobić na nieskończenie wiele sposobów. Moja propozycja jest jedną z nich.

układ: Fajnie, dziękuję za wytłumaczenie