zadania dowodowe
padre: Mam problem z dwoma zadaniami dowodowymi;
1. Wykaż, że jeżeli stosunki długości boków trójkąta są liczbami wymiernymi, to cosinusy kątów
wewnętrznych tego trójkąta są także liczbami wymiernymi
2. Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta, zaś R jest długością promienia okręgu
opisanego na tym trójkącie, to:
a) a2+b2+c2>8R2 , gdy trójkąt jest ostrokątny
b) a2+b2+c2=8R2 , gdy trójkąt jest prostokątny
c) a2+b2+c2<8R2 , gdy trójkąt jest rozwartokątny
15 lut 14:48
wredulus_pospolitus:
z tw. cosinusów:
b
2 = k
2b
2 + m
2b
2 − 2km*b
2*cosβ −−−> b
2(1 − k
2 − m
2) = 2kmb
2*cosβ −−−−>
| | 1−k2−m2 | |
−−−> cosβ = |
| skoro k,m są wymierne ... to całe to wyrażenie będzie liczbą |
| | 2km | |
wymierną
analogicznie można zrobić dla kolejnych boków (chociaż czy to aby na pewno potrzebny ?!)
15 lut 16:12
padre: W liczniku wtedy powinno być m2+k2−1
15 lut 16:40
. :
Fakt.
15 lut 17:24
wredulus_pospolitus:
2. jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie to:
a) gdy trójkąt jest ostrokątny, to środek okręgu leży wewnątrz trójkąta
b) gdy trójkąt jest prostokątny, to środek okręgu leży w połowie przeciwprostokątnej
c) gdy trójkąt jest rozwartokątny, to środek okręgu leży na zewnątrz trójkąta
| | c | |
(b) stąd wiemy, że R = |
| −−−> 8R2 = 2c2 = c2 + (a2 + b2) (z tw. Pitagorasa) |
| | 2 | |
(c)
I. c
2 < (2R)
2 = d
2
II. z tw. cosinusów: a
2 + b
2 < a
2 + b
2 [C{+2abcosγ]] = c
2 < (2R)
2
15 lut 17:37
wredulus_pospolitus:
poprawka do (c)
winno być:
a2 + b2 < a2 + b2 −2abcosγ (a nierówność spełniona bo γ > 90o, wie cosγ < 0)
15 lut 17:44
padre: Szczerze nie rozumiem twojego zapisu z a) i c)
15 lut 18:59