bez kalkulatora M.: Oblicz ³√9

mat: kalkulator i dostaniesz przybliżenie

. : Masz dokładną wartość wyznaczyć? Z całą pewnością nie. Więc zapisz co masz dokładnie zrobic

kaszojadka: ile miejsc po przecinku?

taxi: f(x₀ + h) ≈ f(x₀) + f'(x₀) * h

	1
f(x) = 3√x, f'(x) =		,
	33√ x2

³√9 = ³√8 + 1, x₀ = 8, h = 1

	1		1		25
3√9 ≈ 3√8 +		* 1 = 2 +		=		= 2,08(3)
	33√64		12		12

	25
(		)3 ≈ 9,042
	12

trolejbus: Pozdrawiam

ixi: dla trolejbusa

Mariusz: ³√9 ≈ 2.08008 8 1000|(1200 + 60*0)*0 1000'000|(120064+600*8)*8 998'912 1088000|12979200+6240*0)*0 1'088'000'000|(1'297'920'000+62400*0)*0 1'088'000'000|(129792000064+624000*8)*8 Jak to działa ? Otóż liczbę możesz zapisać jako 10a+b gdzie a jest aktualnym przybliżeniem a b cyfrą następnego przybliżenia (Pozycję przecinka pomijam) Jeżeli podniesiemy (10a+b) do potęgi trzeciej to otrzymamy (10a+b)³ = 1000a³+300a²b+30ab²+b³ Przekształćmy powyższą równość (10a+b)³ − 1000a³ = 300a²b+30ab²+b³ (10a+b)³ − 1000a³ = (300a²+30ab+b²)b (10a+b)³ − 1000a³ =((300a²+b²)+30ab)b Liczbę pierwiastkowaną dzielimy na trzycyfrowe grupy począwszy od przecinka przy czym podziału dokonujemy w obydwie strony Bierzemy grupę najbardziej na lewo i odejmujemy od niej sześcian takiej cyfry aby różnica zwana dalej resztą była możliwie najmniejszą liczbą nieujemną Ta cyfra będzie pierwszą cyfrą przybliżenia Do reszty dopisujemy cyfry z następnej grupy Na boku wykonujemy następujące obliczenia Do potrojonego kwadratu aktualnego przybliżenia dopisujemy kwadrat ostatniej cyfry następnego przybliżenia Do tak utworzonej liczby dodajemy potrojony iloczyn aktualnego przybliżenia i ostatniej cyfry następnego przybliżenia przesunięty o jedną pozycję w lewo Otrzymaną liczbę mnożymy przez ostatnią cyfrę następnego przybliżenia Uzyskaną w powyższy sposób liczbę odejmujemy od aktualnej reszty otrzymując następną resztę Ostatnią cyfrę następnego przybliżenia dobieramy tak aby reszta była możliwie najmniejszą liczbą nieujemną Tutaj można sobie oszacować wartość tej ostatniej cyfry następnego przybliżenia dzieląc resztę przez ten składnik z potrojonym kwadratem aktualnego przybliżenia W pierwszych iteracjach może być trudno oszacować w ten sposób wartość tej ostatniej cyfry następnego przybliżenia ale dość szybko ten potrojony kwadrat zdominuje pozostały składnik tak że w większości przypadków to dzielenie da dość dobre oszacowanie tej następnej cyfry Do tej reszty dopisujemy kolejną grupę cyfr Powyższy krok kontynuujemy dopóki nie uzyskamy reszty równej zero bądź zadowalającego przybliżenia

M.: Czy w ten sposób obliczamy pierwiastki w starożytności

ToryRutter: The symbol "3 √" represents the cube root of a number, which is a value that, when multiplied by itself three times, gives the original number. The cube root of 9 is 3, because 3 x 3 x 3 = 27[url=https://laptopswiki.com/best-cheap-laptop-for-surfing-internet/].[/url] . So, 3 √ 9 = 3.

kaszojadka: @M:. raczej wypada podziękować ktoś się postarał, w starożytności raczej tak nie obliczano https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=39435 post izuriona w tym linku czy mógłby ktoś się wypowiedzieć na temat poprawności tego wzoru [w tym linku] (nie jestem w temacie ale znalazłam w internecie dyskusję z innego forum na ten temat)

jc: Wzór Netona daje szybko zbieżny ciąg. Wychodząc z x=2, w zadaniu w pierwszym kroku dostajemy 25/12, a w drugim 23401 / 11250 (różnica na 6 miejscu po przecinku),

M. : wątpię, żeby Pitagoras czy Hippazos znali szeregi lub wzór Newtona ale .. dziekuję jak widać samemu trzeba dojść do wszystkiego

M. : @Tory Rutter laptopów nie potrzebuję

jc: Wzór Newtona na obliczanie pierwiastka kwadratowego stosowali już Babilończycy lata przed Pitagorasem.

πxi:

Mariusz: To co ja napisałem we wpisie z 10 lut 2023 01:33 to pisemny sposób obliczania pierwiastków trzeciego stopnia Bazuje on na pozycyjnym zapisie liczby i wzorach skróconego mnożenia