rownanie rozniczkowe M.: Jak to rozwiązać?

	y
y"+		=2
	x

wredulus_pospolitus: tam jest druga pochodna

M.: niestety tak

wredulus_pospolitus: no to przewiduję poważny problem

jc: Rozwiązanie szczególne to np. y=2x.

jc:

	(−x)n
y= ∑n=1∞
	n! (n−1)!

x y'' + y =0, blisko funkcji Bessela. a co z drugim rozwiązaniem?

jc: y = √x J₁(2 √x) /2

Mariusz: " Rozwiązanie szczególne to np. y=2x." Problem w tym że do obniżenia rzędu potrzebujemy całki szczególnej równania jednorodnego Zamieńmy zmienną niezależną może wtedy dojdziemy do równania Bessela t=2√x

t
	=√x
2

2		1
	=
t		√x

4		1
	=
t2		x

dt		1
	=
dx		√x

dt		1
	=
dx		t   2

dt		2
	=
dx		t

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		2	dy
	=
dx		t	dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy	dt		dt
	=		(			)
dx2		dt		dt	dx		dx

d2y		d		2	dy		2
	=		(			)
dx2		dt		t	dt		t

d2y		2	dy		2	d2y		2
	=(−			+			)
dx2		t2	dt		t	dt2		t

d2y		4	d2y		4	dy
	=			−
dx2		t2	dt2		t3	dt

4	d2y		4	dy		4
		−			+		y=2
t2	dt2		t3	dt		t2

	d2y		dy
2t		−2		+2ty = t3
	dt2		dt

	d2y		dy
2t2		−2t		+2t2y = t4
	dt2		dt

	d2y		dy		t4
t2		− t		+ t2y =
	dt2		dt		2

Część jednorodna to rzeczywiście równanie Bessela

Mariusz: A należałoby jeszcze podstawić y=u(t)v(t) Przy czym jakoś trzeba by ustalić że v(t)=t i wtedy otrzymamy równanie Bessela

M.: Było zrobione podstawienie y'=u(y) ale nie dało to Bessela a co ma oznaczac v(t)=t? nie lepeij po prostu y =u(t)t

jc: No to pokaż, jakie masz rozwiązanie? Przedstawiony szereg spełnia równanie jednorodne, y=2x spełnia równanie niejednorodne. Mamy jeszcze jedno liniowo niezależne rozwiązanie równania jednorodnego, ale nie wiem, jak go znaleźć (teoretycznie wiem − https://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian).

Mariusz: Podstawienia prowadzące do równania Bessela t=2√x oraz y = u(t)t znalazłem korzystając z rozwiązania podanego przez jc Bo to że v(t)=t powinno wyjść z obliczeń a nie ze zgadywania jc po proponowanych przeze mnie podstawieniach t=2√x oraz y = u(t)t Równanie jednorodne przyjmie postać równania Bessela a że nadal jest to równanie liniowe to znając układ fundamentalny równania jednorodnego można uzmiennić stałe

jc: Mariusz, nie ma sensu uzmienniać stałych, bo rozwiązanie szczególne jest oczywiste. Lepiej podaj drugi rozwiązanie − ja potrafię napisać tylko formalnie.

Mariusz: Równanie jednorodne można stosunkowo łatwo rozwiązać zamieniając najpierw zmienną niezależną a później zmienną zależną

	y
y'' +		= 0
	x

t = 2√x t² = 4x

	t2
x =
	4

1		4
	=
x		t2

dt		1
	=
dx		√x

dt		2
	=
dx		2√x

dt		2
	=
dx		t

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		2	dy
	=
dx		t	dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy	dt		dt
	=		(			)
dx2		dt		dt	dx		dx

d2y		d		2	dy		2
	=		(			)
dx2		dt		t	dt		t

d2y		2	dy		2	d2y		2
	= (−			+			)
dx2		t2	dt		t	dt2		t

d2y		4	d2y		4	dy
	=			−
dx2		t2	dt2		t3	dt

4	d2y		4	dy		4
		−			+		y(t) = 0
t2	dt2		t3	dt		t2

	d2y		dy
t		−		+ ty(t) = 0
	dt2		dt

y = u(t)t t(u'(t)t+u(t))' − (u'(t)t+u(t)) + t²u(t) = 0 t(u''(t)t+u'(t)+u'(t)) − tu'(t) −u(t)+t²u(t) = 0 t²u''(t)+2tu'(t) − tu'(t) + (t²−1)u(t) = 0 t²u''(t)+tu'(t) + (t²−1)u(t) = 0 I to jest równanie Bessela Jeżeli chcemy rozwiązanie w postaci szeregu to korzystamy z tzw metody Frobeniusa u(t) = ∑_n=0^∞c_nx^n+r jc Jedną całkę szczególną już podałeś i jest wyrażona funkcją Bessela pierwszego rodzaju y₁(x) = √x J₁(2 √x) Druga całka szczególna jest wyrażona funkcją Bessela drugiego rodzaju y₂(x) = √xY₁(2 √x)

Mariusz: jc Ja podstawienia rozwiązujące to równanie znalazłem na podstawie całki szczególnej podanej przez ciebie we wpisie z 5 lut 2023 00:07 ale musi być jakiś inny sposób na odgadnięcie tych podstawień sprowadzających równanie

	y
y'' +		= 0
	x

do równania Bessela