Analiza studenciak: Czy taki tok rozumowania jest poprawny? Treść: Dowieść, że dla każdego x > −1 zachodzi nierówność e^x ≥ 1 + ln(x + 1) Rozwiązanie: Oznaczmy f(x) = e^x, g(x) = 1 + ln(x + 1). Wyznaczmy pochodne I oraz II rzędu tych funkcji. f'(x) = f''(x) = e^x

	1		1
g'(x) =		, g''(x) = −
	x + 1		√x + 1

Stąd wynika, że: f(x) jest funkcją wypukłą na zadanym przedziale oraz g(x) jest funkcją wklęsłą na zadanym przedziale. Zauważmy też, że f(0) = 1 = g(0), stąd wiemy, że dla każdego x z zadanego przedziału zachodzi f(x) ≥ x + 1. Dodatkowo wiemy, że zachodzi nierówność g(x) ≤ x + 1. Stąd otrzymujemy, że f(x) ≥ x + 1 ≥ g(x), a więc f(x) ≥ g(x).

ABC: po pierwsze druga pochodna g'' źle policzona , po drugie "Zauważmy też, że f(0) = 1 = g(0), stąd wiemy, że dla każdego x z zadanego przedziału zachodzi f(x) ≥ x + 1.Dodatkowo wiemy, że zachodzi nierówność g(x) ≤ x + 1. " możesz to uzasadnić bardziej szczegółowo?

studenciak: Aj, tak, faktycznie, kwadrat zamiast pierwiastka. Niemniej, nie zmieni to dalszego rozumowania. Co do szczegółów, to korzystamy z wypukłości i wklęsłości funkcji. Jeśli funkcja jest wypukła, to wówczas dla każdego x, x₀ ∊ (−1, ∞) zachodzi nierówność f(x) ≥ f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀), analogicznie rzecz się ma, jeśli funkcja jest wklęsła, tylko nierówność mamy w drugą stronę. Wobec tego przyjmujemy x₀ = 0 i liczymy: f(x) ≥ f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀) = e⁰(x − 0) + e⁰ = x + 1 oraz

	1
g(x) ≤		(x − 0) + (1 + ln(1)) = x + 1
	1 + 0

wredulus_pospolitus: I teraz to ma sens ... nie sądzisz? bo napisanie f(0) = 1 = g(0) ⇒ f(x) ≥ x+1 ∧ g(x) ≤ x+1 było chyba średnio poprawnym zapisem ... chyba się z tym zgodzisz, prawda

studenciak: Nie no, jak najbardziej, Panowie

ABC: A ty rozumiesz to czy z jakiejś mądrej książki przepisujesz? "Jeśli funkcja jest wypukła, to wówczas dla każdego x, x₀ ∊ (−1, ∞) zachodzi nierówność f(x) ≥ f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀)" a to dlaczego jest prawda?

jc: korzystamy z nierówności e^x ≥ x+1 Podstawmy x = ln y y ≥ 1 + ln y 1+x ≥ 1 + ln(1+x) e^x ≥ 1+ x ≥ 1 + ln(1+x)

studenciak: @ABC, to każdą rzecz i każdy wzór już dowodzić trzeba? Mija się to z celem, po to mamy mądre książki. Niemniej, odpowiedź brzmi: nie, nie interesowało mnie za bardzo dlaczego taka nierówność jest prawdziwa. I łatwo znaleźć przykładowy dowód, choćby tutaj: https://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/2020-21/Analiza1/wyklad33.pdf

ABC: z autorem tego wykładu piłem piwo na szkole matematycznej 28 lat temu , wtedy był całkiem w porządku gość

d: Och i ach

chichi: @ABC mam deja vu

ABC: na tej szkole była kupa ludzi którzy teraz są sławnymi profesorami , a ja byłem leniem to skończyłem jako nauczyciel