Nietoperze lubią macierze nietoperz: Świrki matematyczne, jak sobie poradzić z takim zadaniem? Mamy macierz A ∊ M_2x2(R) taką, że A⁷ = I_2x2. Czy stąd wynika, że A = I_2x2? Innymi słowy mamy znaleźć taką macierz, że będzie różna od I_2x2 lub pokazać, że takich macierzy nie ma. Tylko zdecydowanie nie wiem nawet jak się zabrać za tego typu zadanie.

Maciess: cześć nietoperzyku. W takich zadankach dobrze myśleć o macierzach jako pewnych przekształceniach liniowych Jakie przekształcenie płaszczyzny złożone 7 razy da ci identycznośc?

getin: No to masz: np. taką macierz A wymiaru 2x2 że w lewym górnym rogu ma jedynkę, w lewym dolnym 0, w prawym górnym 0 oraz w prawym dolnym ma minus jedynkę Pomnóż sobie przez siebie dwie takie macierze. Otrzymana macierz będzie równa A² i się okaże macierzą jednostkową Aby otrzymać macierz A³, trzeba pomnożyć otrzymaną (jako A²) macierz jednostkową przez macierz A i wynikiem mnożenia (jako A³) będzie znów macierz jednostkowa Zatem A⁴ też będzie jednostkowa, A⁵, A⁶ i A⁷ też

Mila: A kultury to gdzie Cię uczyli? W jaskini?

mat: getin − chyba ta co podales nie najlepsza, ale A = a, 0], [0, b −−> ogólnie macierz diagonalna A⁷ = a⁷,0],[0,b⁷ chcemy zatem żeby a⁷ = 1, b⁷ = 1 −−> a=1, b=1 Ale teoretycznie moze sie udac z niediagonalną, warto pomyslec o twierdzeniu Jordana

Maciess: Niech A będzie macierz obrotu o 2π/7. Koniec

nietoperz: O cholibka, Maciess, to genialna uwaga! Wszystko od razu staje się prostsze

	2π
Można wziąć chociażby macierz obrotu o kąt		, wtedy złożenie siedmiu takich obrotów da
	7

nam identyczność

nietoperz: O właśnie, wyprzedziłeś mnie o te trzy minuty Dziękuję pięknie.

Maciess: Sam kiedyś dostałem taką radę i wiele to ułatwiło. Tu było łatwo, bo mamy macierz o współczynnikach rzeczywistych Chcesz to moge Ci podrzucić więcej podobnych zadanek.

nietoperz: Pewnie, chętnie sobie zobaczę na podobne zadania, co by się w przyszłości nie zdziwić

Maciess: Nie wiem czy jest sens w sumie, widze że to zadanie pochodzi z tego samego źródła

Maciess: http://magweb.math.uni.wroc.pl/egzmgr/?page=zadania Tutaj w egzaminach licencjackich w częsciach otwartej zawsze jest takie zadanko z algebry o macierzach.

nietoperz: Dziękuję