Całka wymierna Poston: Jak obliczyć całkę nieoznaczoną z (x³−4x²+1) / (x−1)⁴ dx ?

łozbijam:

	x3		4x2		1
Rozbij sobie na sumę całek, to jest ∫		dx − ∫		dx + ∫		dx
	(x−1)4		(x−1)4		(x−1)4

A dalej to żmudne obliczenia. Podpowiedź: w pierwszej całce podstawienie u = x − 1, w drugiej całce spróbuj przez części, a trzecia to prosta.

Poston: Spoko, dzięki, tak zrobię. Nie dałoby się tego zrobić jakoś metodą przez sprowadzenie do ułamków prostych?

Mariusz: Przez części to można nawet w pamięci policzyć

	1	x3−4x2+1		1		3x2−8x
−			+		∫		dx
	3	(x−1)3		3		(x−1)3

	1	x3−4x2+1		1		1	3x2−8x		1		6x−8
−			+		(−			+		∫		dx)
	3	(x−1)3		3		2	(x−1)2		2		(x−1)2

	1	x3−4x2+1		1	3x2−8x		1		6x−8
−			−			+		∫		dx
	3	(x−1)3		6	(x−1)2		6		(x−1)2

	1	x3−4x2+1		1	3x2−8x
−			−
	3	(x−1)3		6	(x−1)2

	1		6x−8		6
+		(−		+∫		dx)
	6		(x−1)		x−1

	1	x3−4x2+1		1	3x2−8x		1	6x−8
−			−			−			+ln|x−1|+C
	3	(x−1)3		6	(x−1)2		6	(x−1)

	1	x3−4x2+1		1	3x2−8x		1	3x−4
−			−			−			+ln|x−1|+C
	3	(x−1)3		6	(x−1)2		3	(x−1)

Poston: Chyba w pamięci RAM

Mariusz: Można przez rozkład na sumę ułamków prostych ale wtedy będziesz miał cztery współczynniki co prowadzi do układu 4 równań liniowych postaci Cramera Jeżeli nie chcesz przez części to możesz wyrazić licznik jako sumę potęg dwumianu (x−1) ((x−1)+1)³−4((x−1)+1)²+1 = (x−1)³+3(x−1)²+3(x−1)+1−4(x−1)²−8(x−1)−4+1 x³−4x²+1 = (x−1)³ − (x−1)² − 5(x−1) − 2

	(x−1)3 − (x−1)2 − 5(x−1) − 2		1		1
∫		dx = ∫		dx−∫		dx
	(x−1)4		x−1		(x−1)2

	1		1
−5∫		dx−2∫		dx
	(x−1)3		(x−1)4

	1		5	1		2	1
−ln|x−1|+		+			+			+ C
	x−1		2	(x−1)2		3	(x−1)3

Mariusz: Poston, nie przy odrobinie wprawy mógłbyś policzyć w swojej pamięci (tej w mózgu)

Poston: No może. Ja jestem na pierwszym semestrze. Może później się tym zajmę. Na razie wyszło mi coś takiego jak tobie, tylko ln jest dodatni.

Poston: Mathematica mówi, że mam dobrze, tylko trzeba wrzucić pod wspólny mianownik

jc: Jenak podstawienie. x=u+1, mianownik = u⁴ licznik = x³−4x²+1=(u+1)³−4(u+1)²+1=(u³+3u²+3u+1) − 4(u²+2u+1)+1 = u³ − u² −5u −2 To jest właściwie to samo, co zaproponował Mariusz. Czasem nawet w tak prostych sytuacjach opłaca się użyć nowej litery.

Poston: Tak, też wszystko zrobiłem przez podstawienie. Dzięki