Zbieżność ciągu rekurencyjnego Aruseq: Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie.

	5
a1=4, an+1=
	6−an

No i skoro lim n−> a_n = g, to lim n−> a_n+1 = g Podstawiając do równania dostaję dwie granice: 1 i 5. Jaki komentarz odnośnie odrzucenia 5 należy napisać, aby zostało to zaliczone?

chichi: masz Zbadać zbieżność, a Ty na wstępie mówisz, że jest zbieżny i dąży do g. pierwo pokaż, że jest to ciąg monotoniczny i ograniczony, a to implikuje nam zbieżność. wtedy dopiero możesz założyć, że skoro a_n → g, wówczas a_n+1 → g

jc: A może tak?

	bn
an = bn +1, b1=3, bn+1 =
	5−bn

0 < b_n+1 ≤ b_n / 2 Zatem b_n →0, czyli a_n →1.

Aruseq: Czyli o ile dobrze to rozumiem: a_n≥1

	5		5
Wtedy: an+1=		≥		=1
	6−an		6−1

a_n≤5

	5		5
Wtedy an+1=		≤		=5
	6−an		6−5

Zatem a_n∊<1, 5> Teraz wykazujemy monotoniczność:

	5		(an−1)(an−5)
an+1−an =		− an =		< 0
	6−an		6−an

Wykazaliśmy że ciąg jest ograniczony i malejący, czyli jest zbieżny i jego granica to 1. Tak jest okej?

wredulus_pospolitus: A gdzie tutaj pokazane jest, że jest to ciąg malejący ? Brak jakiegokolwiek komentarza − skąd mamy wiedzieć, że Ty wiesz dlaczego to jest ciąg malejący i zawsze będzie to ciąg malejący ?

Aruseq: No już tutaj się nie rozpisywałem, ale skoro a_n∊<1, 5>, to

	(an−1)(an−5)
an+1−an=		ma ujemny (może lepiej niedodatni) licznik i dodatni
	6−an

mianownik, czyli będzie to ciąg malejący

. : A skąd wiesz ze a_n ∊ <1,5> na jakiej podstawie tenże wniosek?

. : Innymi słowy − gdzie wykazałeś że a_n ≥ 1 dla dowolnego n

Aruseq: Indukcyjnie w wiadomości z 23:41

. : Jedynie co dowodzisz to to, że od a₁ = 4 będzie maleć, ale nie wykazałeś że nigdy nie przebije granicy a_n = 1 i ciąg nie będzie wtedy rosnący. Nie wspominając o tym że jeżeli przebije granice 1 to później (jak będzie rosnący ciąg) nie przebije granicy 5 i nie będzie ciąg dążył do +∞

. : Ach, teraz dopiero spojrzałem co na początku tamtego postu pisałeś. Oki

Aruseq: Czyli łącząc to wszystko wystarczy, by stwierdzić, że jest on zbieżny do 1?

chichi: ale co Ci da odpowiedź na to pytanie skoro nie rozumiesz istoty problemu, robisz bo robisz, ale co robisz i do czego to prowadzi? widocznie nie rozumiesz tego, wówczas nie ma to sensu

Aruseq: Wydaje mi się, że nie tego dotyczyło moje pytanie Teraz rozumiem już na czym polegał mój początkowy błąd i poprawiłem to, dlatego pytam, czy to wystarczy