Zadanie z zagadnień własnych operatora liniowego
Poston: Dana jest macierz operatora A w bazie (e1, e2, e3) przestrzeni rzeczywistej.
Wyliczyć wartości i wektory własne tego operatora. Jeśli operator jest
diagonalizowalny, to znaleźć macierz przejścia do bazy złożonej z wektorów własnych.
Podać związek baz i macierz operatora w nowej bazie.
Macierz na której działamy (ale nie wiem czego dotyczy) to
1,−8,2
−5,7,1
2,4,4
Gdyby ktoś pomógł mi zrozumieć od czego zacząć w tym zadaniu,
albo jak wyprowadzić te wzory na operator liniowy, to byłbym wdzięczny.
Z góry dziękuję,
Poston
22 sty 18:22
Poston: Przenoszę na górę
22 sty 23:34
chichi:
no to zacznijmy powoli czy wiesz kiedy operator jest diagonalizowalny?
23 sty 00:13
Poston: Nie
23 sty 00:16
chichi:
operator liniowy jest diagonalizowalny jeśli jego macierz jest odwracalna w pewnej bazie, czyli
w języku macierzy macierzy po prostu:
macierz A będzie odwracalna jeśli istnieje macierz odwracalna P taka, że A = PDP
−1, gdzie P
jest macierzą przejścia między bazami.
czy potrafisz wyznaczyć wartości własne macierzy A, czyli wyznaczyć pierwiastki wielomianu
charakterystycznego tej macierzy?
23 sty 00:34
Poston: Wiem czym jest operator liniowy, wektor
własny, odwzorowanie liniowe, baza i kombinacja liniowa.
Nie wiem, czym jest wielomian charakterystyczny macierzy
23 sty 14:29
23 sty 14:51
Mariusz:
Postron
Masz równanie macierzowe Ax=λx
gdzie A jest macierzą kwadratową, x niezerowym wektorem a λ skalarem
(rzeczywistym bądź zespolonym)
Przekształćmy teraz trochę to równanie
Ax=λx
Ax−λx=0
(A−λI)x = 0
Teraz skoro wektor x ma być niezerowy to
macierz A−λI nie może być odwracalna
a jaki mamy warunek na to aby macierz była odwracalna ?
Oczywiście są też bezwyznacznikowe sposoby znajdowania wielomianu charakterystycznego
Korzysta się tam z podstawowych wiadomości o funkcjach symetrycznych
albo z twierdzenia Cayleya−Hamiltona
λ3−12λ2−9λ+220=0
1 −12 −9 220
5 1 −7 −44 0
(λ − 5)(λ2 − 7λ − 44)=0
(λ − 5)(λ − 11)(λ + 4) = 0
31 sty 14:28