Suma szeregu
Aruseq: Jak policzyć wartość wyrażenia:
| 1 | | 1 | | 1 | | 2 | | 1 | | n | |
| − |
| + |
| − |
| +...+ |
| − |
| +... |
| 2 | | 3 | | 4 | | 9 | | 2n | | 3n | |
19 sty 18:12
mat: | | 1 | | n | |
Policz osobno sumę |
| i |
| |
| | 2n | | 3n | |
19 sty 18:22
chichi:
| 1 | | 1 | | 1 | | 2 | | 1 | | n | |
| − |
| + |
| − |
| +...+ |
| − |
| = |
| 2 | | 3 | | 4 | | 9 | | 2n | | 3n | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 2 | | n | |
= ( |
| + |
| +...+ |
| ) − ( |
| + |
| +...+ |
| ) = |
| | 2 | | 4 | | 2n | | 3 | | 9 | | 3n | |
∞ ∞
n=1 n=1
suma pierwszego szeregu jest gotowa do policzenia, to szereg geometryczny zbieżny, natomiast
suma drugiego szeregu potęgowego jest "ściągalna" do sumy odpowiedniego szeregu geometrycznego
za pomocą twierdzeń o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu potęgowego wew. przedziału jego
zbieżności, poczytaj w necie. jak nic nie znajdziesz odezwij się − pomogę dalej
19 sty 18:24
Aruseq: Miałem szereg potęgowy, ale go tutaj jakoś nie widze
19 sty 18:34
Aruseq: 
19 sty 20:49
ABC: szereg n/3n elementarnie też można , metoda zaburzania sum na przykład
19 sty 20:52
Aruseq: Okej, jednak z tym szeregiem potęgowym udało mi się do tego dojść.
19 sty 20:56
Aruseq: A co w takim przypadku?
∞
n=1
19 sty 21:09
ABC: wszystkie tego typu tak samo
to jest przecież
19 sty 21:22
Aruseq: Dobra, jednak prosiłbym o rozpisanie przynajmniej jednego z nich. Nie wiem jak zrobiłem ten
pierwszy, bo teraz totalnie mi to nie wychodzi
19 sty 21:43
Maciess:
Zróżniczkuj obie strony, następnie sprowadz lewą do postaci n*q
n.
19 sty 21:57
Aruseq: A sposób z wykorzystaniem szeregu? Z wszystkich wspomnianych tylko ten miałem. Nie mam pojęcia
jak miałbym obliczyć pochodną lewej strony
19 sty 22:28
Maciess: To nic innego jak suma funkcji. Pochodna sumy = suma pochodnych.
∑nqn−1 = 1/q ∑nqn
19 sty 22:33
Aruseq: Ojej, rzeczywiście, jednak nie jest to takie ciężkie. Jakbym mógł jeszcze tylko prosić o
sprawdzenie tego:
∞
n=1
19 sty 23:00
chichi:
jest ok
19 sty 23:32
Aruseq: Super, dzięki wielkie
19 sty 23:49
Mariusz:
19 sty 2023 20:52
albo sumowanie przez części (w dość podobny sposób jak przy całkowaniu)
tyle że przez tą amerykańską modę jest to sposób pomijany
20 sty 03:59
Mariusz:
∑f(x)Δg(x)δx=f(x)g(x)−∑(Δf(x))g(x+1)δx
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
∑x( |
| )xδx = x |
| ( |
| )x−∑ |
| ( |
| )x+1δx |
| | 3 | | | | 3 | | | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 1 | | 1 | | 1 | |
∑x( |
| )xδx = − |
| x( |
| )x+ |
| ∑( |
| )xδx |
| | 3 | | 2 | | 3 | | 2 | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 1 | | 1 | 1 | | 1 | |
∑x( |
| )xδx = − |
| x( |
| )x+ |
|
| ( |
| )x |
| | 3 | | 2 | | 3 | | 2 | | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 1 | | 3 | | 1 | |
∑x( |
| )xδx =− |
| x( |
| )x− |
| ( |
| )x |
| | 3 | | 2 | | 3 | | 4 | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 3 | | 1 | |
∑x( |
| )xδx −( |
| x+ |
| )( |
| )x |
| | 3 | | 2 | | 4 | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 3 | | 1 | | 3 | |
∑0n+1x( |
| )xδx = −( |
| (n+1)+ |
| )( |
| )(n+1)+ |
| |
| | 3 | | 2 | | 4 | | 3 | | 4 | |
| | 1 | | 3 | | 1 | | 1 | | 1 | |
∑0n+1x( |
| )xδx = |
| −( |
| (n+1)+ |
| )( |
| )n |
| | 3 | | 4 | | 2 | | 4 | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 1 | | 3 | | 1 | |
∑0n+1x( |
| )xδx = |
| −( |
| n+ |
| )( |
| )n |
| | 3 | | 4 | | 2 | | 4 | | 3 | |
| | 1 | | 3 | | 1 | | 3 | | 1 | |
∑k=0n k( |
| )k = |
| −( |
| n+ |
| )( |
| )n |
| | 3 | | 4 | | 2 | | 4 | | 3 | |
Teraz trzeba jeszcze policzyć granicę przy n dążącym do nieskończoności
20 sty 04:35
an: dla maturzysty jako suma ciągów geometrycznych
| | n | | 1 | | 2 | | 3 | |
∑∞ |
| = |
| + |
| + |
| +...= |
| | 3n | | 3 | | 9 | | 27 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
( |
| + |
| + |
| +..)+ |
| ( |
| + |
| +..)+ |
| ( |
| + |
| + |
| +..) |
| | 3 | | 9 | | 27 | | 3 | | 3 | | 9 | | 9 | | 3 | | 9 | | 27 | |
| 1/3 | | 1 | | 1/3 | | 1 | | 1/3 | |
| + |
| * |
| + |
| * |
| +...= |
| 1−1/3 | | 3 | | 1−1/3 | | 9 | | 1−1/3 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
= |
| (1+ |
| + |
| +..)= |
| |
| | 2 | | 3 | | 9 | | 4 | |
20 sty 10:19