trzykrotny pierwiastek w wielomianie kasia: dla jakich p q r liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem rownania x⁴ + px³ +qx² + rx − 4 = 0 i podzielilem pisemnie x⁴ + px³ +qx² + rx − 4 : x −1 i wyszlo = x³ + x²(p+1) + x(p+1+q) + p + 1 + q + r i reszta p + q + r − 3 i wiadomo ze reszta p + q + r = 3 i ze do tamtego mozna podstawic liczbe 1 pod x i podrownac pod 0 ale brakuje mi trzeciego rownania zeby wyliczyc 3 niewiadoma i nie mam pojecia jak do tego dojsc tym sposobem

chichi: możesz dzielić dalej

chichi: ale odradzam rozwiązywania tym karkołomnym sposobem, jak będziesz chciał, to pokażę dwa prostsze sposoby, od tego wybranego przez Ciebie

kasia: ale co dzielic dalej

kasia: no widzialam jakies rozne sposoby ale zadnych poza tym nie rozumiem. Bo robilam gdy byl 2 stopnia i wtedy wychodzilo

chichi: f(x) = x⁴ + px³ + qx² + rx − 4 g(x) = (x − 1)³(ax + b) = (x³ − 3x² + 3x − 1)(ax + b) teraz musi zachodzić, że f ≡ g, zatem musi zachodzić: x³ * ax ≡ x⁴ ⇔ ax⁴ ≡ x⁴ ⇔ a = 1 oraz −1 * b ≡ −4 ⇔ b = 4, wówczas: f(x) = (x³ − 3x² + 3x − 1)(x + 4) = x⁴ + x³ − 9x² + 11x − 4 no i mamy ostatecznie, że: p = 1, q = −9, r = 11 czego nie rozumiesz w tym sposobie?

kasia: rozumiem ze jak jest rownanie 4 stopnia to musza byc 4 pierwiastki i ten czwarty oznaczamy w iloczynie jako (ax + b)

getin: Co do dokończenia wcześniejszą metodą, to podziel x³ + x²(p+1) + x(p+1+q) + p + 1 + q + r przez (x−1) Trzecie równanie wyjdzie z przyrównania reszty z tego dzielenia do zera i potem układ 3 równań z 3 niewiadomymi p,q,r

kasia: a jak mam takie zadanie w rokzkladzie wielomianu 2x³ + ax² + bx + 8 wystepuje wielomina (x−2)² wyznacz a i b to czemu autorzy rozwiazania zapisuja tak (𝑥 − 2)² (2𝑥 + 𝑐) = czemu 2x+ c w tym przypadku? skąd to 2

getin: Bo jeśli rozpiszesz (x−2)² to wyjdzie x²−4x+4 najwyższa potęga z tego x²−4x+4 to x² pomnożenie najwyższych potęg obu nawiasów (x²−4x+4) oraz (mx+c) ma dać najwyższą w wielomianie 2x³+ax²+bx+8 czyli 2x³ x² * mx = 2x³ z tego wychodzi że m=2 więc (mx+c) = (2x+c)

chichi: (x − 2)²(ax + b) = (x² − 4x + 4)(ax + b), zatem musi zachodzić przystawanie: ax * x² ≡ 2x³ ⇔ a = 2 oraz 4*b ≡ 8 ⇔ b = 2 to jest dokładnie to co ja zrobiłem w moim rozwiązaniu

Mila: w(x)=x⁴ + px³ +qx² + rx − 4 1) w(1)=0⇔p+q+r=3 2) w'(x)=4x³+3px²+2qx+r w'(1)=0⇔3p+2q+r=−4 3) w"(x)=12x²+6px+2q w"(1)=0⇔6p+2q=−12 4) p+q+r=3 3p+2q+r=−4 6p+2q=−12 =========== p=1, q=−9,r=11 w(x)=x⁴+x³−9x²+11x−4=(x−1)³*(x+4)

chichi: to drugi ze sposobów, który miałem na myśli pisząc o 2 prostszych

getin: Pochodne to jest to! Najlepszy wg mnie sposób na takie zadania

Mila: Sposób chichi też jest dobry i niezbyt skomplikowany. W podanym zadaniu napisałabym: g(x) = (x − 1)³*(x − b) = (x³ − 3x² + 3x − 1)(x − b) bo wsp. przy x⁴ jest równy 1

getin: No tak w sumie to też ma sens, niby będą 4 niewiadome i 4 równania ale układ równań wbrew pozorom nie będzie taki straszny

chichi: wywnioskowałaś to w pamięci, tak samo jak można zrobić z 'b', ja to wszystko zapisałem

Mila: chichi Zgadza się, że wszystko pięknie zapisałeś, ale jeżeli wsp. przy x⁴ jest równy 1, to ja piszę tak, jak zapisałam 23:54. Gdyby przy x⁴ był wsp. 2 to zapisałabym: g(x)=(x−1)³*2*(x−b)

kasia: pytanie do wypowiedzi mojej z 23:31 a jak mam takie zadanie w rokzkladzie wielomianu 2x3 + ax2 + bx + 8 wystepuje wielomina (x−2)2 wyznacz a i b to czemu autorzy rozwiazania zapisuja tak (𝑥 − 2)2 (2𝑥 + 𝑐) = czemu 2x+ c w tym przypadku? skąd to 2 i tu czyjas odp (x − 2)2(ax + b) = (x2 − 4x + 4)(ax + b), zatem musi zachodzić przystawanie: ax * x2 ≡ 2x3 ⇔ a = 2 oraz 4*b ≡ 8 ⇔ b = 2 to jest dokładnie to co ja zrobiłem w moim rozwiązaniu emotka ale odpowiedzi do tego zad to a = −6 b = 0 to o co chodzi Jak to zrobic zeby dobrze wyszlo i skad mam wiedziec zeby wsadzic tam 2?

kasia: (x − 2)²(ax + b) = (x² − 4x + 4)(ax + b), ax * x² ≡ 2x³ ⇔ a = 2 oraz 4*b ≡ 8 ⇔ b = 2 *** bo nie zapisalem poteg

chichi: jak może być a = −6, przecież będzie wtedy −6x³, to już Ci nie gra, nie wiem. patrzysz na współczynnik przy najwyższej potędze x w wielomianie i jest to natychmiastowy wniosek, @Mila od razu to wklepała, ale ja nawet pokazałem skąd się on bierze i dlaczego właśnie tyle wynosi, nie wiem co mam jeszcze zrobić. podpytaj nauczyciela

Mila: 18:07 masz kolizję oznaczeń Postać iloczynowa : w(x)=2x³ + ax² + bx + 8 =2*(x−2)²*(x−c) stąd zapis: P=(x−2)²*(2x−2c) Przeczytaj co pisze chichi 23:18

kasia: rozwiazanie i odpowiedz autora ksiazki to nalezy wszystko przemnozyc razy 2 czy tylko x? 𝑤(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 + 8 𝑤(𝑥) = (𝑥 − 2)²(2𝑥 + 𝑐) = (𝑥² − 4𝑥 +4)(2𝑥 + 𝑐) = 2𝑥³ + 𝑐𝑥² − 8𝑥² − 4𝑐𝑥 + 8𝑥 +4𝑐 = = 2𝑥³ + (𝑐 −8)𝑥² + (8 − 4𝑐)𝑥 + 4𝑐 Porównujemy współczynniki wielomianów: 𝑎 = 𝑐 − 8 i 𝑏 = 8 −4𝑐 i 8 = 4𝑐 Stąd mamy: 𝑐 = 2, 𝑎 = 2− 8 = −6, 𝑏 = 8 − 4 ∙ 2 = 0. Odp. 𝑎 = −6, 𝑏 = 0

Mila: 2*3*4 =? czy każdą liczbę mnożysz przez 2?

kasia: no ale 2(x+c) = (2x +2c) = / = (2x+c) <=== warioant z ksiazki

Jolanta: x+4 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x⁴+px³+qx²+rx−4 : x³−3x²+3x−1 −x⁴+3x³−3x²+x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (p+3)x³+(q−3)x²+(r+1)x−4 reszta =0 zeby −4 sie wyzerowało muszę −4+4 −4x³+ 12x²− 12x +4 −(−1*4) pisze u góry 4 i mnoze ===================== p+3−4=0 q−3+12=0 r+1−12=0 p=1 q=−9 r=11 Czy tak się liczy ? Mam wrazenie że tak sie uczyłam

Mila: ad 20:02 1) rozkład iloczynowy w(x)=2𝑥³ + 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 + 8 przy podanej treści możesz zapisać 2𝑥³ + 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 + 8 =2*(x−2)²*(x−c) , gdzie c jest trzecim pierwiastkiem wielomianu i wtedy mnożysz przez dwa jeden z czynników np 2*(x−2)²*(x−c) =(2x−2c)*(x²−4x+4) i po wymnożeniu porównujesz wsp. z w(x) albo (x−2)²*(2x−2c) i dalej j.w. 2) rozkład iloczynowy w(x)=2𝑥³ + 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 + 8 możesz zapisać tak: 2𝑥³ + 𝑎𝑥² +𝑏𝑥 + 8 =(x²−4x+4)*(2x+p) i trzeci pierwiastek trzeba obliczyć