rozklad wielomianu tom: jak podzielic wielomian przez dwumian? tzn np 2x³ + x² +x +8 : (x−2)² zazwyczaj rozwiązywałem takie rzeczy metodą pisemną ale tutaj jak jest do kwadratu to w ogóle się da to rozwiązać? bo mam takie zadanie w rozkładzie wielomianu 2x³ + ax² +bx +8 na czynniki pierwsze wystepuje wielomian (x−2)² wyznacz wartosci a ib i nie wiem jak to zrobić też. Więc jak by ktoś mógł odpowiedziec na moje 1 pytanie i podpowiedziec z rozwiazaniem zadania to bylbym wdzieeczny

Jolanta: W(2)=2a+b=−12 2x+2 2x³+ax²+bx+8 ; x²−4x+4 −2x³+8x²−8x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (a+8)x²−(b−8)x+8 −4x²+8x −8 ===================== a+8=−4 b−8=8 a=−12 b=16

tom: nie rozumiem skąd to sie wszystko tu wzielo

Jolanta: (x−2)²=x²−4x+4 Podzielilam pisemnie W ktorym miejscu się gubisz?

tom: 2x3+ax2+bx+8 ; x2−4x+4 −2x3+8x2−8x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (a+8)x2−(b−8)x+8 −4x2+8x −8 no to tu niee jest dla mnie jasne. Ale co podzielilas pisemnie? 2x³ + x² +x +8 : (x−2)²

tom: w sensie to 2x³ + ax² +bx +8 : (x−2)² pisemnie>?

Jolanta: tak

tom: a jak to zrobilas

Jolanta: mussze zrobic chwile przerwy

tom: ok

Jolanta: 2 jest pierwiastkiem czyli wielomian dzieli się bez reszty 2x³+ax²+bx+8 ; x²−4x+4 2x³:x²=2x mnoze przez 2x (x²−4x+4)=2x³−8x²−8x odejmuję to od 2x³+ax²+bx 2x³+ax²+bx+8−(2x³−8x²−8x)=(a+8)x²+(b−8)x+8 Nie bardzo mam warunki do pisania

Jolanta: bład widze u gory2*x² napisalam 4x²

Jolanta: Przepraszam ale mam niespodziewanych gosci

Mila: I sposób Bez dzielenia: w(x)=2x³ + ax² +bx +8 2 jest pierwiastkiem podwójnym w(x) to liczba spełnia równanie (w2)=0 i w'(2)=0 1) w(2)=0⇔2*8+4a+2b+8=0⇔2a+b=−12 2) w'(x)=6x²+2ax+b w'(2)=0⇔24+4a+b=0⇔4a+b=−24 3) Układ równań 2a+b=−12 4a+b=−24 =====a=−6, b=0 II sposób (*) 2x³ + ax² +bx +8 =2(x−c)*(x²−4x+4) P=2*(x³−4x²+4x−cx²+4cx−4c)=2*[x³+x²*(−4−c)+x*(4+4c)−4c] P=2x³+(−8−2c)x²+(8+8c)x−8c Porównanie wsp. L i P strony równości (*) −8−2c=a 8+8c=b −8c=8 ==== c=−1 a=−6 b=0 ==========

Mila: 2x³+ax²+bx+8 : ( x²−4x+4)=2x +(a+8) −(2x³−8x²+8x) =========== x²(a+8)+x(b−8) +8 −( x²(a+8)+x(−4a−32)+4a+32) =================== (b−8+4a+32)x+8−4a−32 ^↙ reszta 4a+b+24=0 i −4a−24=0 a=−6 i b=0 a+8=2 2x³−6x²+8=(x−2)²*2*(x+1)

charlock: skąd to wzielas 2) w'(x)=6x2+2ax+b

charlock: no ale dzielenie wyszlo 2x +(a+8) a reszta (b−8+4a+32)x+8−4a−32 ale skad te dalsze obliczenia 4a+b+24=0 i −4a−24=0 a=−6 i b=0 a+8=2 2x3−6x2+8=(x−2)2*2*(x+1) nie rozumiem tych zapisow skad to sie wzielo

Jolanta: 2 jest pierwistkiem czyli reszta =0

charlock: no tak

Mila: w'(x) to pochodna w(x), nie wiem czy już miałeś pochodne.

charlock: mialem ale co to ma do pochodnych

charlock: ale dzielenie wyszlo 2x +(a+8) a reszta (b−8+4a+32)x+8−4a−32 ale skad te dalsze obliczenia 4a+b+24=0 i −4a−24=0 a=−6 i b=0 a+8=2 2x3−6x2+8=(x−2)2*2*(x+1) nie rozumiem tych zapisow skad to sie wzielo

Jolanta: wynik dzielenia to 2x+2 −4a=−24 czyli a=−6 −8+32=24 4*(−6)+24+b=0 b=0

Jolanta: wynik dzielenia to 2x+2 −4a=−24 czyli a=−6 −8+32=24 4*(−6)+24+b=0 b=0

Jolanta: wynik dzielenia to 2x+2 −4a=−24 czyli a=−6 −8+32=24 4*(−6)+24+b=0 b=0

charlock: z tego 2x3+ax2+bx+8 : ( x2−4x+4)=2x +(a+8) wynika ze wynik to nie 2x+2

Jolanta: a=−6 −6+8=2

Jolanta: 2x+2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2x³−6x²+8 : x²−4x+4 −2x³+8x²−8x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2x²−8x+8 −2x²+8x−8 ================

charlock: no ale przeciez my mamy 2x³ + ax² +bx +8 a nie 2x3−6x2+8 : x2−4x+4 bo to dzielenie rozumiem tylko ja mam niewiadome a i b i nie wiem skad je wziac poza tym ze moge podstawic 2 pod x ale wtedy mi tylko wyjdzie ze 2a+b=−12 ale skad wziac 2 rownanie?

Mila: ad 21:23 1) Jeżeli w(x) ma pierwiastek podwójny x=2 to w(2)=0 i w'(2)=0 Wykorzystane w (I) sposobie . 2) Jeżeli w(x) ma pierwiastek podwójny w Twoim przykładzie x=2, to w(x)=2(x−2)²*(x−c) wykorzystane w II sposobie 3) Reszta z dzielenia w(x) przez (x−2)² jest równa : (b−8+4a+32)x+8−4a−32 i po redukcji: (4a+b+24)*x+(−4a−24) Ponieważ w(x) jest podzielny przez (x−2)² bez reszty (z treści zadania) to wsp. tej reszty wyzerujemy⇔ 4a+b+24=0 i −4a−24=0 a=−6 i b=0 4) Twój wielomian ma postać: w(x)=2x³−6x²+8 i możesz go rozłożyć na iloczyn 2x³−6x²+8=2(x+1)*(x−2)² wymnóż i sprawdź.