Całka ANia: ∫√3sin²x+1dx

. : Skąd masz taką calke do policzenia? W jakiś sposób ona powstała?

ANia: Tką mam policzyć na zaliczenie otrzymałam ją po przekształceniu Proszę o pomoc bo próbowałam na wszelkie sposoby ∫√16sin²x+4cos²xdx

. : To pisz do prowadzącego zajęcia czy aby na pewno tak ma wyglądać ta całka która masz policzyc

ANia: Ok. Dziękuję za zainteresowanie

ANia: Całka oznaczona na dole pi u góry 2pi ∫√16sin² t +4 cos² t dt

ABC: a co ty miałaś policzyć? długość jakiegoś łuku, objętość bryły obrotowej?

ANia: długość łuku x=4cost y=2sint t od pi do 2pi

ANia: Próbowałam przez podstawienia tgt=u dt=^du_1+u² sin²t = ^u2_1+u² ale kolejna całka też jest trudna do obliczenia, z którą nie radzi sobie kalkulator

chichi: to jest całka eliptyczna, poczytaj w necie

ABC: no niestety wykładowca dał ci połowę obwodu elipsy o osiach 4 i 2 ile miejsc po przecinku kazał ci podać w odpowiedzi?

ANia: Nie podała ile miejsc po przecinku

ABC: kiedyś zajmowałem się aproksymacją całek eliptycznych troszkę się na tym znam możesz zrobić tak osie elipsy a=4 b=2

	a−b		1
obliczasz h=(		)2=
	a+b		9

teraz jest taki szereg nieskończony Gaussa−Kummera na obwód elipsy, urwę go na 6 potędze:

h

h2

h3

25h4

49h5

441h6

π(a+b)[1+

+

+

+

+

+

]

4

64

256

16384

65536

1048576

oblicz to dla tych a,b,h i wynik podziel przez 2 , nie wiem ilocyfrowe ona ma tablice całek eliptycznych ale powinno wystarczyć

Do ABC: Proszę jeszcze raz popatrzeć do ANia

ABC:

x2		y2
	+		=1
a2		b2

górna połowa

	x2
y=b√(1−		)
	a2

i masz taką całkę jak trzeba

Mariusz: A to jest dość przydatna całka pozwala obliczyć przybliżone odległości na Ziemi (Spłaszczona elipsoida obrotowa o a=6378 i b=6357 jest dość dobrym przybliżeniem geoidy czyli modelu Ziemi) Całka ta pozwala też obliczyć orbity niektórych planet (Orbity planet Układu Słonecznego są elipsami) x = a cos(t) y = b sin(t) L = ∫_t1^t₂√(−asin(t))²+(bcos(t))²dt L = ∫_t1^t₂√a²sin²(t)+b²cos²(t)dt L = ∫_t1^t₂√a²sin²(t)+b²(1−sin²(t))dt L = ∫_t1^t₂√a²sin²(t)+b²−b²sin²(t)dt L = ∫_t1^t₂√b²−(b²−a²)sin²(t)dt

	b2−a2
Niech ε2=
	b2

L = ∫_t1^t₂√b²−b²ε²sin²(t)dt L = b∫_t1^t₂√1−ε²sin²(t)dt

	(1/2) n
√1−ε2sin2(t)=∑n=0∞(−1)n		ε2nsin2n(t)

	(1/2) n
L = b∫t1t2∑n=0∞(−1)n		ε2nsin2n(t)dt

	(1/2) n
L = b(∑n=0∞∫t1t2(−1)n		ε2nsin2n(t))dt

∫sin²ⁿ(t)dt = ∫sin(t)sin²ⁿ⁻¹(t)dt ∫sin²ⁿ(t)dt = −cos(t)sin²ⁿ⁻¹(t) − ∫(2n−1)(−cos(t))sin²ⁿ⁻²(t)cos(t)dt ∫sin²ⁿ(t)dt = −cos(t)sin²ⁿ⁻¹(t) + (2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(t)cos²(t)dt ∫sin²ⁿ(t)dt = −cos(t)sin²ⁿ⁻¹(t) + (2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(t)(1−sin²(t))dt ∫sin²ⁿ(t)dt = −cos(t)sin²ⁿ⁻¹(t) + (2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(t)dt − (2n−1)∫sin²ⁿ(t)dt (1+(2n−1))∫sin²ⁿ(t)dt = −cos(t)sin²ⁿ⁻¹(t) + (2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(t)dt 2n∫sin²ⁿ(t)dt = −cos(t)sin²ⁿ⁻¹(t) + (2n−1)∫sin²ⁿ⁻²(t)dt

	1		2n−1
∫sin2n(t)dt = −		cos(t)sin2n−1(t) +		∫sin2n−2(t)dt
	2n		2n

∫_t1^t₂sin²ⁿ(t)dt =

	1		1
(−		cos(t2)sin2n−1(t2))−(−		cos(t1)sin2n−1(t1))
	2n		2n

	2n−1
+		∫t1t2sin2n−2(t)dt
	2n

∫_t1^t₂ 1 dt = t₂ − t₁ Dla ćwiartki elipsy ten wzór redukcyjny się upraszcza do

	2n−1
∫0π/2sin2n(t)dt =		∫0π/2sin2n−2(t)dt
	2n

	2k−1	π
∫0π/2sin2n(t)dt = ∏k=1n
	2k	2

Jeżeli przyjmiemy że liczymy długość ćwiartki elipsy to dostaniemy

	(1/2) n
L = b(∑n=0∞∫0π/2		ε2nsin2n(t))dt

	(1/2) n		2k−1	π
L = b(∑n=0∞		ε2n∏k=1n			)
			2k	2

	πb		(1/2) n		2k−1
L=		(∑n=0∞(−1)n		∏k=1n		ε2n)
	2				2k

	2k−1		1*3*5*7*..*(2n−1)
∏k=1n		=
	2k		2n*n!

	2k−1		1*3*5*7*..*(2n−1)*2*4*6*..*2n
∏k=1n		=
	2k		2n n! *2*4*6*..*2n

	2k−1		(2n)!
∏k=1n		=
	2k		4n*(n!)2

(1/2) n		1   1   1   1   ( −1)*( −2)...*( −(n−1) 2   2   2   2
	=
		n!

(1/2) n		1*(−1)(−3)(−5)*..*(−(2n−3))
	(−1)nε2n =
		2n*n!

(1/2) n		1*(1)(3)(5)*..*((2n−3))
	(−1)nε2n =(−1)n−1
		2n*n!

(1/2) n
	ε2n =

	1*(1)(3)(5)*..*(2n−3)(2n−1)*2*4*6*...*(2n−2)*(2n−1)*2n
−
	2n*n!*2*4*6*...*(2n−2)*(2n−1)*2n

(1/2) n		(2n)!
	ε2n =
		4n(n!)2(1−2n)

	πb		(2n)!		(2n)!
L=		(∑n=0∞				ε2n)
	2		4n(n!)2(1−2n)		4n*(n!)2

	πb		((2n)!)2
L =		(∑n=0∞		)ε2n
	2		16n(1−2n)(n!)2

	πb		2n n		1
L =		(∑n=0∞ (		))2		ε2n)
	2				16n(1−2n)

Tutaj będą dwie takie ćwiartki Coś chyba wyszło nie tak bo jak sprawdzałem w programach CAS to pokazywały jakieś funkcje hipergeometryczne

Mariusz: I oczywiście literówka w przedostatniej linijce obliczeń

	πb		((2n)!)2
L =		(∑n=0∞		ε2n)
	2		16n(1−2n)(n!)4

	b2−a2
gdzie ε2 =
	b2