zadanie domowe anonymous123: 2. Oblicz: 1/(4*6) + 1/(6*8) + 1/(8*10) + ... + 1/(98*100) + 1/(100*102)

wredulus_pospolitus: rozłóżmy na ułamki proste:

1		A		B
	=		+		−−−> A = 1/2 ; B = −1/2
2n*(2n+2)		2n		2n+2

w efekcie

	1		1		1
wyjściowa suma =		(		−		) = ...
	2		4		102

chichi:

1		1		1		1
	+		+		+ ... +		=
2*2 * 2*3		2*3 * 2*4		2*4 * 2*5		2*50 * 2*51

	1		1		1		1		1
=		(		+		+		+ ... +		) =
	4		2*3		3*4		4*5		50*51

50

	1		1
=		∑		,
	4		k(k+1)

k=2

	1		1		1
teraz zauważ, że		=		−		, rozpisz sobie tą sumę, a łatwo zauważysz
	k(k+1)		k		k+1

pewną zależność, która doprowadzi cie do wyniku

Mariusz:

	1
∑k=0∞xn=
	1−x

	1
∫(∑k=0∞xn)dx = ∫		dx
	1−x

	xn+1		1
∑k=0∞		=ln(		)+C1
	n+1		1−x

	1
ln(		)+C1=0
	1−0

C₁=0

	xn+1		1
∑k=0∞		=ln(		)
	n+1		1−x

	xn+1		1
∫∑k=0∞		dx = ∫ln(		)dx
	n+1		1−x

	xn+2
∑k=0∞		=
	(n+1)(n+2)

	1
∫ln(		)dx
	1−x

	1
t=
	1−x

	1
dt = −		(−1)dx
	(1−x)2

dt = t²dx

	dt
dx=
	t2

	ln(t)		ln(t)		1
∫		dt = −		+∫		dt
	t2		t		t2

	ln(t)		ln(t)		1
∫		dt = −		−		+C2
	t2		t		t

	1		1
∫ln(		) = −(1−x)ln(		)−(1−x)+C2
	1−x		1−x

	xn+2		1
∑k=0∞		= (x−1)ln(		)+(x−1)+C2
	(n+1)(n+2)		1−x

−1+C₂=0 C₂=1

	xn+2		1
∑k=0∞		= (x−1)ln(		)+x
	(n+1)(n+2)		1−x

	xn		1   (x−1)ln( )+x   1−x
∑k=0∞		=
	(n+1)(n+2)		x2

	1   (x−1)ln( )+x   1−x
A(x)=
	x2(1−x)

Po rozwinięciu w szereg otrzymamy

	1		1
sn=		(an−		)
	4		2

Trochę niepotrzebnie indeksowałem sumę od zera Może lepiej byłoby indeksować od jedynki

chichi: to po czym w końcu sumujesz po 'k' czy po 'n'

Mariusz: A tak Gdy wybierzemy literkę n to będziemy poprawiać tylko w jednym miejscu