Optymalizacja Nasiaa: Mamy fragment paraboli opisanej rownaniem y= −0,5(x−2)² +4,5. Punkt P jest punktem wspólnym poraboli z osią Ox. Niech R będzie punktem leżącym na rozpatrywanym fragmencie paraboli (I ćwiartka), a odległość R od P wyraża się wzorem |PR| = √^x4₄ −2x³ + ^5x2₂+ ¹²⁵₄, gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R. Wyznacz współrzędne takiego punktu R aby jego odległość od P była możliwie najwieksza. Oblicz tę najwiekszą odległość.

Aruseq: Z czym problem?

Jolanta: wiesz jakie wspólrzedne ma P ?

Asia: Jakoś pytający nie potrafią określić w czym maja problem i mają problem z sformułowaniem pytania

Aruseq: Jeżeli chodzi o ruszenie tego zadania, to trzeba wyznaczyć współrzędne punktu P, następnie uzależnić współrzędne punktu R od jednej zmiennej i następnie zastosować wzór na odległość między punktami

Jolanta: Nasiaa wiesz jak parabola ma ramiona?

Jolanta: No cóz chyba się wstydzi pytać .Moze ktos ją kiedyś wysmiał

Asia:

Jolanta: y=−0,5(x−2)²+4,5 z postaci kanonicznej przechodzimy na ogólną y=−0,5(x²−4x+4)+4,5 y=−0,5x²+2x+2,5

	1		5
y=−		x2+2x+
	2		2

	1		5
Δ=b2−4ac=22−4(−		)*		=9
	2		2

	−b−√Δ		−2−3
X1=		=		=5 leży w pierwszej ćwiartce
	2a		1   2*(−   2

	−b+√Δ
x2=		=−1 nie lezy w pierwszej cwiartce
	2a

P=(5,0)

	−1		5
R lezy na paraboli czyli dla dowolnego x y=		x2+2x+
	2		2

odległosc miedzy punktem PiR |PR|=√(x_r−x_p)²+(y_r−y_p)² x_r=x x_p=5 y_p=0 |PR|=√x−5)²+(y−0)² |PR|=√x²−10x+25+y²

Jolanta: z tresci zadania |PR|=√^x4₄−2x³+^5x2₂+¹²⁵₄

Aruseq: No i skoro punkt R leży na paraboli, to wiemy, że y=−0,5(x−2)²+4,5 − wystarczy podstawić

Jolanta: własnie,ze wszystko mi sie zeruje

Aruseq: jak się zeruje?

Jolanta: Jezeli za y =−0,5.......podstawię do |PR|=

Aruseq:

	1		1
Przecież y2=(−0,5(x−2)2+4,5)2=(−		x2+2x+2,5)2=		x4−2x3+U{3}
	2		4

	25
{2}x2+10x+		, a więc
	4

|PR|=√x²−10x+25+y²=√¹₄x⁴−2x³+⁵₂x²+¹²⁵₄

Aruseq:

	3
Wkradł się błąd, miało być		x2
	2

Jolanta: Tak robiłam

Jolanta: podnioslam obie strony do potegi 2

Jolanta:

	3
dlaczego		?
	2

Jolanta: W treści zadania ?

Mila: x≥0 y= −0.5(x−2)² +4.5 −0.5(x−2)² +4.5=0 0.5(x−2)² =4.5 /*2 (x−2)²=9 x−2=3 lub x−2=−3 x=5 lub x=−1 P=(5,0) R=(x,−0.5(x−2)² +4.5) |PR|=√(x−5)²+(0.5(x−2)² −4.5))²=√0.25x⁴−2x³+2.5x²+31.25 sprawdziłam, bo Jolancie co innego wyszło. |PR|²=0.25x⁴−2x³+2.5x²+31.25 (0.25x⁴−2x³+2.5x²+31.25)'=0.25*(x³−6x²+5x) x*(x²−6x+5)=0 x=0 lub x=1 lub x=5 maksimum dla x=1 d_maks(1)=√32=4√2 sprawdzajcie rachunki

Jolanta: Mila dziękuję.Próbuje zrobic to zadanie ale wszystko mi sie sypie.|PR|²= 0,25x⁴−3x³....mam tak Ale co jest dalej ? Po lewej stronie pochodna z tego co wyzej .Po prawej przed nawiasem dlaczego0,25

Aruseq: Po prostu wyciągnęła 0,25 przed nawias, nie musisz tego robić

Mila: Mam policzyć po kolei pochodną?

Jolanta: (0,25x⁴−2x³+2,5x²+31,25"=x³−6x² +5x zapomniałam jak sie pisze 1 kreseczke

Jolanta: Czy żle liczę pochodną ?

Mila: (0.25x⁴−2x³+2.5x²+31.25)'=x(x²−6x²+5) Przez kopiowanie błędnie dopisałam 0.25 Przepraszam.. Nie wpłynęło to na rozwiązanie (na szczęście).

Jolanta: To nic Czy po ustaleniu x liczymy drugą pochodną ? Pierwsza=0 druga<0

Mila: 1) Możesz liczyć drugą pochodną 2) Ja badam jak pochodna f'(x) zmienia znak przy przejściu przez miejsca zerowe. maksimum w x=1 bo f(x) z rosnącej zmienia się na malejącą f(x) rosnąca dla f'(x) >0 f(x) malejąca dla f'(x)<0 Czasem liczenie drugiej pochodnej jest kłopotliwe.

Jolanta: Dziękuję