rozwiaz rownanie Fabian: 3^sin2x=2+3^cos2x

chichi: 3^sin2(x) = 2 + 3^cos2(x) z jedynki tryg. wiemy, że sin²(x) = 1 − cos²(x), zatem: 3^{1 − cos2(x)} = 2 + 3^cos2(x) 3 * 3^−cos2(x) = 2 + 3^cos2(x), kładąc t = cos²(x) takie że t ∊ [0,1], mamy: 3 * 3^−t = 2 + 3^t / * 3^t > 0 3 = 2*3^t + (3^t)², teraz kładąc u = 3^t takie, że u ∊ [1,3], mamy: 3 = 2u + u² a to jest już równanie kwadratowe, które potrafisz rozwiązać? może jest prostu pomysł, ale po 8h na uczelni już dziś nie myślę, wybacz...

Fabian: tak poradze se tylko daloby rade wytlumaczyc czemu u nalezy [1,3]

chichi: funkcja f(t) = 3^t jest rosnącą funkcją ciągłą, zatem jeżeli szukam jej zbioru wartości na przedziale [0,1] to wystarczy zbadać wartości na krańcach przedziału f(0) = 1 oraz f(1) = 3, zatem u = [1,3]. można też działać bez tych założeń, po prostu wyjdą sprzeczności, gdy będziesz wracał od 'u' przez 't' do 'x' gdy nie będziesz miał tych ograniczeń dla przykładu, zbadajmy liczbę rozwiązań równania dwukwadratowego: x⁴ − x² − 2 = 0, teraz kładąc t = x² zazwyczaj sobie zakładamy iż t ≥ 0 ⇔ t ∊ [0,+∞), ale zobaczmy co się stanie bez tego założenia: t² − t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 2) = 0 ⇔ t = −1 (tu byśmy już odrzucili) ∨ t = 2 (jest ok) bez założenia, wracam do 'x' i mam: t = −1 ⇔ x² = −1 (i tu ostatecznie wypluła się ta sprzeczność) ∨ t = 2 ⇔ x² = 2

Fabian: dziekuje