Oblicze grancie funkcji Arturo: Czy dobrze policzyłem następujące granice ciągów? Mam dwie granice, które na pozór wyglądają jak granice z liczbą e, ale nijak nie chce mi wyjść ich przekształcenie do odpowiedniej postaci, a ich granice w kalkulatorze wyszły po ∞. Stąd rozwiązałem je jak poniżej, czy dobrze?

	5n4+n−2		5n4+n−2+3n2−3n2
lim n→∞ (		)2n4−8 = lim n→∞ (		)2n4−8
	5n4−3n2		5n4−3n2

	3n2+n−2
= lim n→∞ (1+		)2n4−8 = ∞ i teraz daje w tym miejscu ∞, bo podnoszę
	5n4−3n2

coś większego od 1 do ∞.

	2n2+n−3		2n2+n−3 +n2−n2
lim n→∞ (		)5−6n = lim n→∞ (		)5−6n =
	3n2+n		3n2+n

	n2+3
lim n→∞ (1−		)5−6n = ∞ i teraz daje w tym miejscu ∞, bo podnoszę liczbę
	3n2+n

mniejszą od 1, a większą od 0 do −∞

wredulus_pospolitus: (a) bzduuura

	1
czyli lim (1 +		)n = +∞ Popatrz jakie mamy symbole nieznaczone ... jednym z
	n

nich jest właśnie 1^∞ (b) analogicznie obie granice to granice 'typu Eulera'

wredulus_pospolitus:

	5n4+n−2		3n2+n−2
lim (		)2n4 − 8 = lim (1 +		)2n4 − 8 =
	5n4−3n2		5n4−3n2

	3n2+n−2
=lim( (1+		)(5n4−3n2)/(3n2+n−2) )(2n4 − 8)*(3n2+n−2)/(5n4−3n2)
	5n4−3n2

=lim e^{(2n4 − 8)*(3n2+n−2)/(5n4−3n2)} = [e^+∞] = +∞

wredulus_pospolitus: drugą próbuj samodzielnie pamiętaj, że:

	an
lim (1 +		) bn/an = e1
	bn

wredulus_pospolitus: ponieważ:

	an		1
(1 +		)bn/an = (1 +		)bn/an =
	bn		bn/an

	1		bn
= (1 +		)cn gdzie cn =		i teraz widzisz już 'Eulerusia'
	cn		an

jc: Nie prościej tak?

	3n2+n−2		3n2+n−2
(1+		)2n4−8 ≥ 1+(2n4−8)*		→∞
	5n4−3n2		5n4−3n2

jc: Druga jest oczywista.

2n2+n−3		2n2+n−3
	→2/3, a więc wyrażenie		dla odpowiednio
3n2+n		3n2+n

dużych n jest mniejsze od 3/4, a wtedy

	2n2+n−3
(		)5−6n > (3/4)5−6n →∞
	3n2+n

Arturo: Dziękuję bardzo za pomoc! Tak teraz widzę "Eulerusia". Niestety nie znałem tej zależności (która teraz wydaje się oczywista)

	an
lim n→∞ (1 +		)(bnan) = e1, stąd nie byłem w stanie tego ugryźć. Preferuję w
	bn

tym przypadku wyznaczenie tej granicy z liczbą e, ponieważ inne granice z tego zadania z listy też takie były.