Równanie różniczkowe piotrek: Rozwiąż równanie różniczkowe typu F(y,y',y'')=0: y*y''−y'²=y²ln(y) Tworzę podstawienie: y'=u(y), y''=u'(y)u(y) y*u'(y)u(y)−u²(y)=y²ln(y) y*u'(y)u−u²=y²ln(y)

	du
uy		−u2=y2ln(y)
	dy

du		u2+y2ln(y)
	=
dy		uy

Jak to dalej ugryźć? Ma ktoś jakiś pomysł? I czy w ogóle dobrze te podstawienia? Bo nie czuję tych podstawień

chichi: ja osobiście robiłbym tak, ale wymaga to zauważania pewnej zależności z pochodnej ilorazu: y * y'' − (y')² = y²ln(y) / : y²

y * y'' − (y')2
	= ln(y), żeby to lepiej zauważyć zapiszę lewą stronę w takiej formie:
y2

(y')' * y − y' * y'
	= ln(y), widać, że lewa strona jest pochodną pewnego ilorazu,
y2

	y'
(		)' = ln(y)
	y

dalej narzuca się już podstawienie u = ln(y), dokończysz? w razie pytań pisz

Mariusz: piotrek od tego do czego już doszedłeś Gdy rozdzielisz ułamki po twojej prawej stronie to otrzymasz równanie Bernoulliego

du		u		yln(y)
	=		+
dy		y		u

Teraz możesz rozwiązywać tak jak równanie Bernoulliego a możesz spróbować sprawdzić czy podstawienie dla równania jednorodnego tutaj zadziała

Mariusz:

du		u		yln(y)
	=		+		| *(2u)
dy		y		u

	du		2u2
2u		−		=2yln(y)
	dy		y

w=u²

dw		du
	=2u
dy		dy

dw		2w
	−		=2yln(y)
dy		y

dw		2w
	−		=0
dy		y

dw		2w
	=
dy		y

dw		2
	=		dy
w		y

ln|w| = 2ln|y|+C ln|w| = ln|Cy²| w = Cy² w(y)=C(y)y²

dw		2w
	−		=2yln(y)
dy		y

	2
C'(y)y2+2yC(y)−		C(y)y2 = 2yln(y)
	y

C'(y)y² = 2yln(y)

	2ln(y)
C'(y) =
	y

C(y) = ln²(y)+C₁ w(y) = (ln²(y)+C₁)y² u(y)² = (ln²(y)+C₁)y² u(y)=±y√ln²(y)+C₁

dy
	= ±y√ln2(y)+C1
dt

dy
	= ±dt
y√ln2(y)+C1

dy
	= ±dt
y√ln2(y)+C1

ln(y)=z

dy
	= dz
y

	dz
∫		= ±t+C2
	√z2+C1

√z²+C₁ = x − z z²+C₁ = x²−2xz+z² C₁ = x²−2xz 2xz = x² − C₁

	x2 − C1
z =
	2x

	2x*2x−2(x2 − C1)
dz =		dx
	4x2

	2x2+2C1
dz =		dx
	4x2

	x2+C1
dz =		dx
	2x2

	2x2−(x2−C1)
x−z =
	2x

	x2+C1
x−z =
	2x

	2x		x2+C1		dx
∫		*		dx =∫
	x2+C1		2x2		x

=ln|x| ln|z+√z²+C₁|=C₂±t z+√z²+C₁=C₂e^±t √z²+C₁ = C₂e^±t − z z²+C₁ = C₂²e^±2t − 2C₂e^±tz+z² C₁ = C₂²e^±2t − 2C₂e^±tz 2C₂e^±tz=C₂²e^±2t−C₁

	(C22e±2t−C1)e±t
z =
	2C2

	(C22e±2t−C1)e±t
ln(y) =
	2C2

Mariusz: Pomysł chichiego jest całkiem niezły jednak jak sam napisał wymaga zauważenia pewnych rzeczy a to może sprawiać trudności