Jak rozwiązać takie równanie z logarytmami w potędze Enclaar: 2^1+log₃cosx − ³₄ = 9^{0,5 + log₃ sin x}

wmboczek: wywalić je z potęgi czy na pewno podstawy się zgadzają?

Enclaar: Podstawy się zgadzają. Ale rzeczywiście pomyliłem podstawę potęgi po lewej stronie. Powinno być; 2^1+log₂cosx − ³₄ = 9^{0,5+log₃sinx} Po pozbyciu się ułamka i pomnożeniu równania przez 4 można doprowadzić do podstawy równej 4. Ale pozostaje po lewej stronie 3 no i dalej dalej jak wywalić te potęgi...

wredulus_pospolitus: 2^{1 + log₂cosx} = 2*2^{log₂ cosx} = 2cosx 9^{0.5 + log₃sinx} = 3^{1+ 2log₃sinx} = 3*3^log₃sin2x = 3sin²x dalej sobie poradzisz

Enclaar: Otrzymałem dwa elementarne równania trygonometryczne; cosx = −³₂ i cosx = ⁵₆ ale nie pamiętam jak się je rozwiązuje

chichi:

	3
cos(x) = −		, ale |cos(x)| ≤ 1, więc...
	2

aby rozwiązać drugie równanie skorzystaj z funkcji odwrotnej do cosinusa P.S. o ile dobrze wszystko w ogóle zrobiłeś..

piotrek:

	3
21+2log2cos(x)−		=90.5+log3sin(x)
	4

	π
Dziedzina: ( cos(x)>0 ∧ sin(x)>0 ) ⇒ x∊D=(2kπ;		+2kπ), k∊ℤ
	2

2²*2^{1+2log₂cos(x)}−3=2²*9^{0.5+log₃sin(x)} 2^{3+2log₂cos(x)}−3=2²*3^{1+2log₃sin(x)} 2^{3+log₂cos2(x)}−3=2²*3^{1+log₃sin2(x)} 2³*2^{log₂cos2(x)}−3=2²*3*3^{log₃sin2(x)} 2³cos²(x)−3=2²*3sin²(x) 8cos²(x)−3=12sin²(x), cos²(x)=1−sin²(x) 8−8sin²(x)−3=12sin²(x) 5=20sin²(x)

	1
sin2(x)=
	4

	1
|sin(x)|=
	2

	1
sin(x)=		, bo sin(x)>0
	2

	π
odp. : x=		+2kπ, k∊ℤ
	6

chichi:

	1
no jak widać, źle rozwiązał, ale do Ciebie mam też pytanie, mianowicie kiedy sin(x) =		?
	2

piotrek:

	5		π
no kiedy? mieści się x=		π w przedziale [0;		]?
	6		2

chichi: jeżeli miałeś na myśli tam odp. końcową, a nie cząstkową to ok

piotrek: uwzględniłem dziedzinę, nie chciało mi się już tego drugiego rozwiązania tam pisać

Enclaar: Dziekuję za rozwiązanie.