Macierz podobna Aruseq: Czy macierz jest diagonalizowalna? Jeśli tak, do których macierzy diagonalnych jest podobna? π 2π 3π ( 0 √2 0 ) 0 0 √5 Skoro w_φ=(π−λ)(√2−λ)(√5−λ), to czy z tego od razu wynika, że macierz jest diagonalizowalna? Skoro każdy z tych czynników jest pierwszego stopnia, to z każdego z nich dostaniemy bazę składającą się z maksymalnie jednego wektora, natomiast skoro takie czynniki występują, to każdy z nich musi tworzyć bazę stopnia co najmniej pierwszego, o ile się nie mylę. Drugie pytanie dotyczy macierzy podobnych. Jedną z nich powinna być: π 0 0 ( 0 √2 0 ) 0 0 √5 A jak wyznaczyć inne macierze podobne? W poleceniu jest liczba mnoga, stąd moje pytanie

eM: Pewnie chodzi o to, że masz dokładność co do permutacji kolumn tej macierzy. Więc będzie jeszcze 5 innych

Aruseq: Ooo, bardzo możliwe. A jeszcze mam takie pytanie, jeśli mam 4 macierze i mam wskazać, które są podobne, to wystarczy po prostu obliczyć wielomian charakterystyczny każdego z nich, i podobne będą te, które mają taki sam wielomian? To wystarczy? Chyba wynikałoby to z przechodniości macierzy.

eM: Jeśli chodzi o relacje podobieństwa macierzy, to można powiedzieć ze jestem jaroszem i nigdy sie o niej nie uczylem. Z tego co zerknąłem to myśle ze masz rację.

Aruseq: Super, dzięki wielkie za pomoc. Jeśli jest ktoś, kto się na tym zna, to też prosiłbym o komentarz odnośnie obu zadań

jc: Macierze

0 0 0 0		0 1 0 0
	,

Mą takie same wielomiany charakterystyczne, ale nie są podobne.

Aruseq: A to nie wynika z tego, że macierz po lewej jest 1x1, a ta po prawej nie jest nawet kwadratowa?

jc: Macierze 2 x 2 [0 0] [0 0] [0 1[ [0 0]

Aruseq: Ktoś może pomoc jak to w takim razie zrobić?

Aruseq: Czy dla każdej z 4 macierzy w takim zadaniu muszę wyznaczać jeszcze wektory własne? I dopiero jeśli zauważę, ze macierze te maja takie same wartości i wektory własne, mogę stwierdzić, ze takie macierze są podobne?

Mariusz: Macierze A oraz B są podobne jeżeli istnieje macierz P taka że A = PBP⁻¹ Jeżeli wartości własne są jednokrotne to macierz jest diagonalizowalna (Uwaga implikacja zachodzi tylko w jedną stronę) Liczba liniowo niezależnych wektorów własnych musi być taka sama co liczba wartości własnych (licząc z krotnościami) aby macierz była diagonalizowalna Macierze podobne mają te same wartości własne ale już nie wektory własne

Aruseq: Racja, wektory własne nie muszą się zgadzać. Wciąż jednak nie naprowadza mnie to w żaden sposób na rozwiązanie. Czyli moje rozumowanie było dobre? Skoro macierz A da się zapisać jako PBP⁻¹ i macierz C jako macierz DBD⁻¹, czyli mają takie same wartości własne (co do krotności również), to są podobne? I to wystarczy?

jc: Jeśli macierze są podobne, to mają takie same wielomiany charakterystyczne. Jeśli dopuścimy liczby zespolone, to Macierz jest diagonalizowlana ⇔ macierz jest pierwiastkiem wielomianu bez piewiastkóœ wielokrotnych.

Aruseq: Super, dziękuje za pomoc