Granice ciągów Aruseq: Oblicz granice ciągów:

	1   1   1+ +...+   √2   √n
a) an=
	n

	1		2		n
b) an=n√		*		*...*		− tutaj wszystko jest pod pierwiastkiem n−tego stopnia
	4		5		n+3

Aruseq:

	6*n!
Czy w podpunkcie b wystarczy zapisać to jako: an=n√		=
	(n+3)!

	6
n√		? I teraz chyba po prostu można stwierdzić, że granica ta jest równa
	(n+1)(n+2)(n+3)

1

chichi: tak, podpunkt (a) pójdzie z tw. o 3 ciągach

Aruseq: Rzeczywiście, wcześniej jakoś dziwnie wybrałem te 2 ciągi i coś mi nie wychodziło. A co na przykład z takim ciągiem:

	3n 3
an=
	2n 2

chichi: rozpisze Ci licznik:

3n 3		(3n)!		3n(3n−1)(3n−2)(3n−3)!		n(3n−1)(3n−2)
	=		=		=
		3!(3n−3)!		6(3n−3)!		2

podziałaj analogicznie dla mianownika i wyjdzie

chichi: a jak ostatecznie dobrałeś ciągi w podpunkcie (a)?

Aruseq: Pisząc to widzę, ze to moje ograniczenie było bledne, za pozna godzina na robienie matematyki. Nie mam pomysłu jak z góry ograniczyć ten ciąg, bo wybrałem ograniczenia 1/n i (n*1/√n)/n, tyle ze oba te ograniczenia są ograniczeniami z dołu

Aruseq: Jezu Hahah, serio coś laguje mój mózg przy granicach. To rozpisanie dwumianu Newtona było takie banalne

chichi: https://matematykaszkolna.pl/forum/414680.html w tym wątku pisałem o ograniczeniu sumy, która występuje u Ciebie w liczniku, przemnóż tamtą nierówność stronami przez 1/n i masz gotowe ograniczenia swojego ciągu, @ABC wstawił zbiór w pdf, w którym są dowody podanych przeze mnie nierówności i wsio

Aruseq: Książka niestety już niedostępna, a szkoda. Sama prowadząca ćwiczenia nie wiedziała jak to zrobić (XD) i koniec końców skorzystaliśmy z twierdzenia Stolza

Aruseq: Ale super, dzięki wielkie za podlinkowanie tego

chichi: jeżeli chcesz to mogę udowodnić podane nierówności, a to poszła na łatwiznę, bo Stolz−Cesaro Theorem to taka reguła de L'Hospitala dla ciągów

Aruseq: Już udało mi się zrobić za pomocą tamtego wzoru. Niestety z tej reguły Stolza ani razu nie korzystaliśmy, więc akurat średnio do mnie trafiła

chichi: no mając to szacowanie, które podałem to policzenie tej granicy to tylko formalność może Ci się kiedyś jeszcze przyda, generalnie pamiętaj, że jeśli wzór ciągu wyraża się przez jakąś sumę, to najodpowiedniejsza metoda to właśnie szacowanie i pod tw. 3 ciągów od razu to ściągać

Aruseq: Super, dzięki wielkie

Maciess: @chichi W sumie skąd pomysł na takie oszacowanie?

Maciess: bump

jc: Proponuję nieco trudniejsze zadanie. Oblicz granicę ciągu

1   1   1   1+ + + ... +   √2   √3   √n
√n

(też 3 ciągi)

chichi: korzystając z tego szacowania, które tam podałem ta granica jest równie banalna do policzenia i wynosi 2. @Maciess to szacowanie jak i inne może wynikać choćby z analizy wykresu funkcji

	1
f(x) =
	√x