Odwracanie macierzy xyz: Czy istnieją takie A∊M_3x4(R), B∊M_4x3(R), że macierz A*B jest odwracalna? Czy istnieją takie, że B*A jest odwracalna? Wskazówka: potraktować A i B jako macierze przekształceń liniowych.

Maciess: Wskazówka: Spróbuj uzyskać identyczność w dość prymitywny sposób.

xyz: Chyba prosiłbym jednak o jakieś rozpisanie tego. Nie za bardzo rozumiem te macierze. Wiem o co chodzi w odwracaniu i tak dalej, ale kompletnie nie potrafię się za to zabrać

Maciess: W języku przekształceń liniowych, poszukaj przekształceń z R², lub R³ które mają rząd dwa. Co do drugiej częsci to zastanów się co się dzieje z wymiarem po drodze.

xyz: Nie ogarniam tego. Macierz A to macierz przekształcenia z R⁴ do R³, a następnie macierz B to macierz przekształcenia z R³ do R⁴. Czemu w ogóle mają być one nieodwracalne? Nie mam pomysłu jak to w ogóle rozpisać. Dlatego prosiłbym o rozpisanie tego, gdyż często podpowiedzi na tym portalu są strasznie niejasne dla osób średnio ogarniających temat

Maciess: Jak gotowiec to: 1) https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=%7B%7B-1%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%2C+%7B0%2C0%2C0%7D%7D*%7B%7B-1%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%2C0%7D%7D++ 2) rank(BA) ≤ min( rank(A), rank(B) ) rank(BA) ≤ 3 ⇒ det(BA) = 0

Maciess: 1) oczywiście kolejność nie ta.... https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=%7B%7B-1%2C0%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%2C0%7D%7D+*+%7B%7B-1%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%2C+%7B0%2C0%2C0%7D%7D

xyz: Skąd wynika zależność: rank(BA) ≤ min( rank(A), rank(B) ) ?

Maciess: Dowód bez problemu znajdziesz w podręczniku do algebry liniowej albo internecie (https://www.statlect.com/matrix-algebra/matrix-product-and-rank) Pamiętaj że mnozenie macierzy macierzy możemy utożsamić ze składaniem przekształceń. Zgodnie z tym co napisałeś A − macierz przekształcenia z R⁴ do R³ B − macierz przekształcenia z R³ do R⁴ Więc (AB) jest macierzą przekształcenia z R³−>R⁴−> R³. Po kolei. Niech x ∊ R³ (AB)x = A(Bx) − bierzesz wektor z R³ uderzasz go przekształceniem liniowym i otrzymujesz wektor z R⁴. Czyli poszliśmy o wymiar do góry − potencjalnie nie straciliśmy żadnych informacji. Uderzając w wektor Bx (odpowiednim) przekształceniem A możemy wrócic do wyjściowej przestrzeni. A teraz BA. R⁴−>R³−> R⁴. Niech y ∊R⁴ (BA)y = B(Ay) Zwróc uwagę że na starcie tracimy informację z wektora y. Funkcja z R⁴ w R³ nie może być różnowartościowa! Więc nie bedzie istniec funkcja odwrotna. W skrócie chodzi o to że idąć wymiar do góry moge zachowac informację i je później odtworzyć. Idąc wymiar w dół jestem skazany na stratę istotnej częsci informacji i nie będę w stanie już nigdy (jednoznacznie) odtworzyć. Może teraz nieco jasniej