liczby wymierne a, b Sariar: Znaleźć wszystkie liczby wymierne a, b dla których liczba a√3 + b√5 jest wymierna

. : Załóżmy że istnieją takie wymierne a,b (i różne od 0). Wtedy (a√3 + b√5)² także byłaby liczba wymierna, a jest to nic innego jak: 3a² + 2ab√15 + 5b² Oczywiscie 3a², 5b² to liczby wymierne, także 2ab jest liczba wymierna, natomiast √15 jest liczba niewymierna. Wiemy natomiast że iloczyn liczby wymiernej (różnej od 0) i niewymiernej daje nam liczbę niewymierna. Czyli nasze 2ab√15 bedzie liczba niewymierna. Co oznacza, że (a√3 + b√5)² także będzie liczba niewymierna, a więc także samo a√3 + b√5 będzie liczba niewymierna. Ergo − jedynie dla wymiernych a=b=0 liczba a√3 + b√5 będzie liczba wymierna.

. : Jeszcze warto dodać, że suma wymiernej i niewymiernej daje nam liczbę niewymierna