Kangur 2021 student Memo: Dla liczby rzeczywistej k niech M(k) oznacza największą wartość wyrażenia |4x2 − 4x + k| dla x z przedziału domkniętego h−1, 1i. Jaka jest najmniejsza możliwa wartość M(k)? A) 4 B) 9/2 C) 5 D) 11/2 E)

ite: stan obecny to E) czyli brak odpowiedzi

ite: dla zainteresowanych uzupełniam treść x∊[−1,1], odpowiedź E) 8 ale nie jest prawidłowa

piotrek:

	1
|4x2−4x+k|=|4(x−		)2+k−1| w x∊[−1;1]
	2

Jest to parabola o ramionach skierowanych w górę. Funkcja ta przyjmuje największą wartość albo w krańcach przedziału albo w wierzchołku. rozpatrzmy funkcję f:

	1
f(x)=|4(x−		)2+k−1|
	2

f(−1)=|k+8| f(1)=|k|

	1
f(		)=|k−1|
	2

Rozpatrzmy trzy opcje:

	1
[f(−1)>f(1) ∧ f(−1)>f(1/2)] v [f(1)>f(−1) ∧ f(1)>f(		)] v [f(1/2)>f(−1) ∧ f(1/2)>f(1)]
	2

(|k+8|>|k| ∧ |k+8|>|k−1|) v (|k|>|k+8| ∧ |k|>|k−1|) v (|k−1|>|k+8| ∧ |k−1|>|k|) [(k+8)²>k² ∧ (k+8)²>(k−1)²] v [k²>(k−8)² ∧ k²>(k−1)²] v [(k−1)²>(k−8)² ∧ (k−1)²>k²]

	7
Opcja I : k∊(−		;+inf)
	2

Opcja II : k∊(4;+inf) Opcja III : k∊∅ W opcji pierwszej oraz drugiej jesteśmy w stanie dopuścić równość, więc sprawdziłbym dwie krańcowe wartości z obu przedziałów, tzn.:

	7
k1=4 oraz k2=−
	2

	1
k1 : f(x)=|4(x−		)2+3|
	2

	1
f(		)=3
	2

f(−1)=12 f(1)=4

	1		9
k2 : f(x)=|4(x−		)2−		|
	2		2

	1		9
f(		)=
	2		2

	9
f(−1)=
	2

	7
f(1)=
	2

No to mi wyszło 3 ale nie ma takiej odpowiedzi, może ktoś inny rzuci jakimś pomysłem

ABC: to można prościej 4x²−4x+k=4x²−4x+1+(k−1) =(2x−1)²+(k−1) jeśli x∊<−1,1> to 2x−1∊<−3,1> a w związku z tym (2x−1)²∊<0,9> i teraz jak będziemy "suwać" tym przedziałem po osi liczbowej , bo do tego sprowadza się dodanie (k−1) to najmniejsza bezwzględna będzie gdy <−4.5, 4.5> z niego zrobimy, w każdym innym położeniu większa na kangurze nie ma czasu na wymyślne sposoby

ite:

	9
mnie wyszło		i to z tej ostatniej obliczanej o 14:51 sytuacji : punkt przecięcia z
	2

prostą x=−1 ma tę samą drugą współrzędną co wierzchołek, a punkt przecięcia z prostą x=1 ma drugą współrzędną mniejszą

ABC: no to dobrze ci wyszło

ite: o jak miło : )