Fajne i proste zadanko. muknobs: Dane jest równanie: x⁴ + ax³ + bx² + ax + 1 = 0 gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi takimi, że wszystkie pierwiastki tego równania są liczbami rzeczywistymi.

	1
1) Pokazać, że jeżeli k jest pierwiastkiem tego równania, to również		nim jest.
	k

2) Wyznaczyć wszystkie wartości a i b, dla których równanie ma dokładnie jeden pierwiastek. 3) Pokazać, że jeżeli równanie ma dokładnie trzy różne pierwiastki, to b = 2a − 2 lub b = −2a − 2. 4) Rozwiązać równanie dla b = 2a − 2 w zależności od a. 5) Znaleźć konieczne i wystarczające warunki dla istnienia dokładnie trzech różnych pierwiastków tego równania w zależności od a i b.

ABC: skoro takie proste, dlaczego nie zamieściłeś pięknego referatu z rozwiązaniem ?

Mariusz: 1)

	1
Jeżeli podstawimy x=		to otrzymamy
	y

1		a		b		a
	+		+		+		+1=0
y4		y3		y2		y

Po obustronnym pomożeniu równania przez y⁴ dostajemy 1+ay+by²+ay³+y⁴=0 i otrzymaliśmy równanie różniące się kolejnością wyrazów ale wiemy że w skończonej sumie dodawanie jest przemienne więc kolejność wyrazów nie ma znaczenia i otrzymaliśmy to samo równanie co przed podstawieniem 2) Tutaj przydatny będzie wzór skróconego mnożenia (x−p)⁴ bądź (x+p)⁴ a następnie wystarczy porównać współczynniki przy odpowiednich wyrazach 4) To równanie akurat łatwo rozwiązać dla wszystkich możliwych wartości a oraz b i to także metodą polegającą na przedstawieniu wielomianu najpierw w postaci różnicy kwadratów a następnie iloczynu dwóch trójmianów Pojawiające się równanie trzeciego stopnia będzie już częściowo rozłożone i łatwo będzie wyciągnąć wspólny czynnik 5) (x−p)³(x−q)=x⁴+ax³+bx²+ax+1 W punkcie trzecim można by skorzystać z wyników uzyskanych w punkcie piątym