Dwa różna podstawienia w całce dają inne wyniki Ania: Nie wiem, gdzie zrobiłam błąd. ∫(1−2√t)/(2t√t)dt = [podstawienie u = 2√t, wtedy du = dt/√t, czyli dt = udu/2] = = 2∫(1−u)/u² = −1/√t − ln|4t| Z innym podstawieniem: ∫(1−2√t)/(2t√t)dt = [podstawienie u = √t, wtedy du = dt/2√t, czyli dt = 2udu] = = ∫(1−2u)/u² = −1/√t − ln|t| Dlaczego wychodzą różne wyniki? (Wiem, że można to zrobić bez podstawienia i wynik wyjdzie tak jak w drugim podstawieniu, ale męczy mnie to, dlaczego w pierwszym nie wyszło mimo że powinno).

mat: ln|4t| = ln4+ln|t| Zapomniałeś o ty, że całka jest wyznaczona z dokładnością do stałej! ∫f(x)dx = F(x) + C u ciebie ln4 jest stałą i wchodzi do C

Ania: Oj racja 🤦‍♀️ bardzo dziękuję! Ten problem był częścią zadania z równań różniczkowych z postawieniem t = y/x − teraz przy okazji wiem, dlaczego tam wyszedł mi tak dziwny wynik. Dzięki jeszcze raz!

Mariusz: Aniu a skąd pomysł że pierwszy wynik jest zły wszak ln|4t|=ln|4|+ln|t| i wynik różni się tylko o stałą Inny przykład ∫sin(x)cos(x)dx Tutaj możemy podstawić t=sin(x)

	1
Otrzymamy wtedy ∫tdt =		sin2(x)+C1
	2

Możemy też podstawić t=cos(x)

	1
Otrzymamy wtedy −∫tdt = −		cos2(x)+C2
	2

∫sin(x)cos(x)dx

	1
Możemy zapisać sin(x)cos(x) jako		sin(2x)
	2

1
	∫sin(2x)dx
2

	1
Teraz możemy podstawić t=2x dt =2dx , dx=		dt
	2

	1		1
Otrzymamy wtedy		∫sin(t)dt = −		cos(2x) +C3
	4		4

Otrzymaliśmy trzy z pozoru różne wyniki

1
	sin2(x)+C1
2

	1
−		cos2(x)+C2
	2

	1
−		cos(2x) +C3
	4

jednak są one tym samym tylko stałe się różnią Inaczej, wróćmy jeszcze do pochodnych (x²)'=2x ale (x²+1)' = 2x

Ania: Tak, głupi błąd. Chyba za długo siedziałam nad tym zadaniem. Dzięki za pomoc!

Mariusz: Ach równania jednorodne − to początek zabawy z równaniami różniczkowymi Tym podstawieniem sprowadza się równanie jednorodne do równania o rozdzielonych zmiennych które powinno być wprowadzone lekcję wcześniej Nie wiem czy to tylko moja preferencja ale ja wolę sobie literkę t zostawiać do zamiany zmiennej niezależnej Aniu mat właśnie zrobił z ciebie mężczyznę

Ania: Póki co podoba mi się ta zabawa haha A ludzie robiący ze mnie mężczyznę na forach matematycznych czy informatycznych to standard

Mariusz: Aniu masz tutaj książki do przeczytania https://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0065/niedoba.pdf http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=25&wyd=10&jez=pl A tu masz kod programu w Pythonie do scalenia pdf https://pastebin.com/GeRYK6Gq Jeżeli nie będzie działać to wyrównaj wcięcia