Wykaż, wykorzystując indukcję matematyczną Hubert: Witam, mam polecenie: wykaż, wykorzystując indukcję matematyczną, że ⋀ n∊N 30 | n⁵−n utknąłem w trakcie dowodu. ⋀ n∊N 30 | n⁵−n ⇔ ⋀ n∊N ⋁ a∊Z n⁵−n=30*a n=0, wtedy 30 | 0⁵−0=0, więc prawda Zał: ⋁ a∊Z n⁵−n=30a Teza: ⋁ b∊Z (n+1)⁵−n−1=30b Dowód: L=(n⁵−n) + 5n⁴+10n³+10n²+5n = 30a+5(n⁴+2n³+2n²+n) = W tym miejscu utykam. Nie wiem jak udowodnić, że n⁴+2n³+2n²+n jest podzielne przez 6. Nie proszę o rozwiązanie (choć i ono nie zaszkodzi) lecz o wskazówki jak to przekształcić.

ABC: przez indukcję udowodnij to drugie − podzielność przez 6 także , jak masz polecenie indukcyjne to rozwalaj wszystko z indukcji

mydlix: WSKAZÓWKI: 1) n⁴+2n³+2n²+n=n(n+1)(n²+n+1) 2) każda liczba naturalna jest postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2 ROZWIĄZANIE Zauważ, że n⁴+2n³+2n²+n=n(n³+1+2n(n+1))=n((n+1)(n²−n+1)+2n(n+1))=n(n+1)(n²+n+1), zatem to wyrażenie zawsze jest podzielne przez dwa. Dla podzielności przez 3 rozważ trzy przypadki: 1) n=3k (wtedy wyrażenie jest oczywiście podzielne przez 3) 2) n=3k+1 (wtedy n²+n+1 jest podzielne przez 3) 3) n=3k+2 (wtedy n+1 jest podzielne przez 3) to pozwala stwierdzić, że powyższe wyrażenie zawsze jest podzielne przez 3. I jeszcze ode mnie jedna uwaga: całe zadanie można zrobić łatwo bez używania indukcji rozkładając to wyrażenie i zauważając, że dzieli się przez 6, a następnie zrobić dla podzielności przez 5 to samo, co wyżej zrobiłem przez 3.