Udowodnij nierówność JR: Wykaż, że jeśli dodatnie liczby a i b spełniają nierówność a+b≥1, to a⁴ + b⁴ ≥ ¹₈

JR: Dwukrotnie wykorzystamy nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią arytmetyczną dwóch liczb dodatnich. Najpierw zróbmy to dla liczb a² i b² √^{a4 + b4}₂≥^{a2 + b2}₂ co po podniesieniu obu stron do drugiej i redukcji daje: a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b² (*) teraz wykorzystamy nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią arytmetyczną liczb dodatnich a i b: √^{a2 + b2}₂ ≥ ^{a + b}₂ i zastosujmy założenie, że a + b ≥1 zatem: √^{a2 + b2}₂ ≥ ¹₂ a po dwukrotnym podniesieniu do 2 potęgi mamy nierówność: ^{a4 + 2a2b2 + b4}₄ ≥ ¹₁₆ zaś po jej przekształceniu: 2a²b² ≥ ¹₄ − a⁴ − b⁴ (**) jeśli połączymy nierówności (*) i (**) otrzymamy a⁴ + b⁴ ≥ ¹₄ − a⁴ − b⁴ a po jej uporządkowaniu: 2a⁴ + 2b⁴ ≥ ¹₄ a następnie: a⁴ + b⁴ ≥ ¹₈ c.b.d.u.

chichi:

	a + b		1
skoro a + b ≥ 1 to		≥		, teraz z nierówności między średnimi:
	2		2

	a4 + b4		a + b		1
4√		≥		≥
	2		2		2

	a4 + b4		1
4√		≥		/ (...)4
	2		2

a4 + b4		1
	≥		/ *2
2		16

	1
a4 + b4 ≥		□
	8