dzielenie dzielenie: Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba: nⁿ⁴−nⁿ² jest podzielna przez 546

ABC: wygląda na olimpijskie lub konkursowe , pytanie czy aktualne

dzielenie: nie, mam je z książki Algebra i Teoria Liczb A. Neugebauera, a tam nie ma odpowiedzi do których zadań

dzielenie: Dobra, już mi się udało rozwiązać

ABC: ta książka mi się nie podoba , polecam książki Wojciecha Guzickiego, on tłumaczy wszystko od A do Z

Mariusz: Moja pierwsza myśl to indukcja jednak nie mam pomysłu na wykazanie kroku indukcyjnego

dzielenie: Ja to zrobiłem tak: 546=2*3*7*13 nⁿ⁴−nⁿ²=nⁿ²(n^{n2(n−1)(n+1)}−1) Iloczyn n²*(n−1)(n+1) zawsze dzieli się przez 12, zatem nⁿ⁴−nⁿ²=nⁿ²(n^12k−1) Oczywiście nasza liczba dzieli się przez 2. Nasza liczba dzieli się przez 13, bo albo 13 dzieli n, albo 13 nie dzieli n, czyli n i 13 są względnie pierwsze i na mocy Małego Tw. Fermata mamy: (n^k)¹²≡1 (mod 13) n^12k−1≡0 (mod 13) I analogicznie pokazujemy dla 3,7 przy rozkładach: nⁿ⁴−nⁿ²=nⁿ²((n^2k)⁶−1) i nⁿ⁴−nⁿ²=nⁿ²((n^6k)²−1) Nasza liczba dzieli się przez 2,3,7 i 13, czyli dzieli się przez 546. ckd.

mat: Czy ta pierwsza równosć jest prawdziwa?

dzielenie: Tak nⁿ⁴−nⁿ²=nⁿ²(nⁿ⁴⁻ⁿ²−1)=nⁿ²(n^n2(n2−1)−1)=nⁿ²(n^{n2(n−1)(n+1)}−1)

mat: rzeczywiscie