geo mydlix: dowieść, że okrąg o równaniu x²+y²=3 nie przechodzi przez żaden punkt wymierny

ABC: skąd ty bierzesz te zadania ? znam dowód tego ale nie najprostszy, może ktoś zna krótszy

mat: Niech x = a/b, y=c/d. Bez strary ogólnosci mozna zalozyc ze sa to ułamki nieskracalne, czyli NWD(a,b)=1, NWD(c,d) = 1 Wtedy (ad)²+(bc)²=3(bd)² Wniosek: (ad)²+(bc)² jest podzielne przez 3, czyli suma kwadratów dwóch liczb jest podzielna przez 3 Ale kiedy to możliwe? Zauważ, że kwadrat liczby naturalnej jest albo podzielny przez 3 albo daje reszte 1. Dlaczego? Np rozważajć przypadki, 3k, 3k+1, 3k+2 To oznacza, że suma kwadratów jest podzielna przez 3 tylko wtedy gdy obie z liczb są podzielne przez 3 zatem 3 dzieli ad oraz 3 dzieli bc Jeżeli 3 dzieli a (a wiemy, że NWD(a,b)=1 więc 3 nie moze dzielic b) to 3 dzieli c, ale to oznacza ze 3 dzieli bd (na mocy pierwszej równości), a ztem 3 dzieli b lub d co prowadzi do sprzecznosci

mat: Zauważ, że np z 5 by nie było takiej wlasnosci, tzn x²+y²=5 np x=1, y=2 (ktory krok w poprzednim rozumowaniu by nie przeszedl?)

mydlix: Dziękuję, kwadraty dają reszty 0, 1, 4 mod(5), zatem jeśli x²≡1 (mod 5), a y²≡4 (mod 5) i ich suma jest podzielna przez pięć, czyli niekoniecznie 5 dzieli ad oraz bc

mydlix: A jeśli chodzi o to zadanie, to nie wiem skąd pochodzi, dostałem je od nauczycielki jako jedno z zadań dodatkowych. Wszystkie rozwiązałem oprócz właśnie tego