Rozłóż na czynniki stopnia możliwie najniższego wielomian Kleszcz: Rozłóż na czynniki stopnia możliwie najniższego wielomian W(x)=x⁶−3x⁴+x²−1

M:

Mariusz: x⁶−3x⁴+x²−1 = 0 (x⁶−3x⁴+3x²−1) − 2(x²−1) − 2 = 0 (x² − 1)³ − 2(x²−1) − 2 = 0 y = x² − 1 y³ − 2y + 2 = 0 y = u + v (u + v)³ − 2(u+v) − 2 = 0 u³ + 3u²v + 3uv² + v³ − 2(u+v) − 2 = 0 u³ + v³ − 2 + 3(u+v)uv − 2(u+v) = 0

	2
u3 + v3 − 2 + 3(u+v)(uv −		) = 0
	3

u³ + v³ − 2 = 0

	2
3(u+v)(uv −		) = 0
	3

u³ + v³ = 2

	2
uv =
	3

u³ + v³ = 2

	8
u3v3 =
	27

	8
t2 − 2t +		= 0
	27

	8
t2 − 2t + 1 − 1+		= 0
	27

	19
(t2 − 2t + 1) −		= 0
	27

	57
(t − 1)2 −		= 0
	81

	√57		√57
(t − 1 −		)(t − 1 +		) = 0
	9		9

	9+√57		9−√57
(t −		)(t −		) = 0
	9		9

	27+3√57		27−3√57
(t −		)(t −		) = 0
	27		27

	27+3√57
t1 =
	27

	27−3√57
t2 =
	27

	1
y =		(3√27+3√57 + 3√27−3√57)
	3

Pozostałe pierwiastki są zespolone Niech ε = e^2πi/3 Jeżeli u₁ oraz v₁ spełniają układ równań u³ + v³ = 2

	2
uv =
	3

to spełniają go również u₂ = ε u₁ ⋀ v₂ = ε² u₂ u₃ = ε² u₁ ⋀ v₃ = ε u₁