Wielomian Ola: Rozłóż wielomian na czynniki: 9x³−4x²−15

wredulus_pospolitus: jakieś pomysły

wredulus_pospolitus: i skąd ten wielomian masz? taki był w zadaniu, czy wyszło Ci z jakiś obliczeń ?

Ola: Taki był

Ola: chciałam −4X² przedstawić w innej postaci żeby otrzymać 4 wyraz a potem pogrupować ale nic z tego nie wyszło

wredulus_pospolitus: sprawdź czy aby na pewno tak to wygląda ... bo ni hu hu, nie da się tego w łatwy sposób rozłożyć na czynniki.

wredulus_pospolitus: Nawet chyba Mariusz by mi tutaj przyznał rację, że rozłożenie tego na czynniki nie jest czymś z czym uczeń/student sobie poradzi.

Ola: Dziękuję za pomoc. Nie będę się z tym męczyć...możliwe, że coś błędnie przepisałam, ale koleżanka ,a tak samo

Mariusz: 9x³−4x²−15=0 Tutaj kluczowy będzie wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy Najpierw stosujesz go aby wyrugować wyraz z x² a następnie aby przekształcić to równanie w układ równań który będzie przypominał wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego 9x³−4x²−15=0 Najpierw podzielmy równanie przez 9

	4		15
x3−		x2−		=0
	9		9

Przyjrzyjmy się jak wygląda wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³ Widzimy że aby wyraz z x² był zawarty w sześcianie sumy to

	4
3y = −
	9

Mamy zatem

	4		4		16		64
(x−		)3=x3−		x3+		x−
	27		9		243		19683

	4		16		4
(x−		)3−		(x−		)=
	27		243		27

	4		16		64		16		64
(x3−		x3+		x−		)−(		x−		)
	9		243		19683		243		6561

	4		16		4		4		128
(x−		)3−		(x−		)=x3−		x3+
	27		243		27		9		19683

	4		16		4		32933		4
(x−		)3−		(x−		)−		=x3−		x2−{15}{9}
	27		243		27		19683		9

	4		16		4		32933
(x−		)3−		(x−		)−		=0
	27		243		27		19683

	4
y=x−
	27

	16		32933
y3−		y−		=0
	243		19683

Teraz znowu patrzysz na wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy (u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v) Stosujesz podstawienie y=u+v

	16		32933
y3−		y−		=0
	243		19683

	16		32933
u3+v3+3uv(u+v)−		(u+v)−		=0
	243		19683

	32933		16
u3+v3−		+3uv(u+v)−		(u+v)=0
	19683		243

	32933		16
u3+v3−		+3(u+v)(uv−		)=0
	19683		729

Teraz widzimy że jeden ze składników jest iloczynem stąd wnosimy że łatwo by się go przyrównywało do zera stąd pomysł na zapisanie tego równania w postaci układu równań

	32933
u3+v3−		=0
	19683

	16
3(u+v)(uv−		)=0
	729

Teraz zauważmy że przyjęliśmy wcześniej iż y=u+v więc nie możemy tego czynnika przyrównać do zera

	16
Zatem zostaje nam czynnik uv−
	729

i to go przyrównujemy do zera

	32933
u3+v3−		=0
	19683

	16
uv−		=0
	729

	32933
u3+v3=
	19683

	16
uv=
	729

Teraz widzimy że powyższy układ równań przypomina wzory Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³ Na razie tymi wzorami Vieta nie jest ale możemy drugie równanie możemy podnieść obustronnie do trzeciej potęgi Niestety takie przekształcenie nie jest równoważne i dlatego będziemy musieli później wrócić do układu równań

	32933
u3+v3=
	19683

	16
uv=
	729

i wyeliminować rozwiązania obce (takie które nie spełniają powyższego układu)

	32933
u3+v3=
	19683

	4096
u3v3=
	7293

	32933		4096
t2−		t+		=0
	19683		7293

	1
u=		3√131732−324√165305
	54

	1
v=		3√131732+324√165305
	54

	4		1
x−		=		(3√131732−324√165305+3√131732+324√165305)
	27		54

	1
x=		(8+3√131732−324√165305+3√131732+324√165305)
	54

Jeżeli chodzi o pozostałe pierwiastki to sposób postępowania zależy od tego czy miałaś liczby zespolone

Mariusz: Od siebie dodam że powyższy sposób można uogólnić na równanie czwartego stopnia choć według mnie równanie czwartego stopnia wygodniej jest rozwiązywać sprowadzając wielomian w nim występujący do różnicy kwadratów

niby czemu: Mariusz mam pytanie: "[...]podnieść obustronnie do trzeciej potęgi Niestety takie przekształcenie nie jest równoważne i dlatego będziemy musieli później wrócić do układu równań" Dlaczego nie jest rownowazne?