ciąg zależność anonim123: jest jakaś zależność pomiędzy takim ciągiem 0,5,15,30,50,75,105...

Mila: a₁=0 a₂=5 a₃=15=2*3*5/2 a₄=3*4*5/2=30 a₅=4*5*5/2=50 Kombinuj dalej i ustal wzór

wredulus_pospolitus: popatrz jakie są różnice pomiędzy kolejnymi dwoma wyrazami ... widzisz zależność

Mariusz: a₀=0 a_n=a_n−1+5n a_n−1=a_n−2+5n−5 a_n−a_n−1=a_n−1−a_n−2+5n−(5n−5) a_n=2a_n−1−a_n−2+5 a_n−1=2a_n−2−a_n−3+5 a_n−a_n−1=(2a_n−1−a_n−2)−(2a_n−2−a_n−3)+5−5 a_n−a_n−1=2a_n−1−3a_n−2+a_n−3 a₀=0 a₁=5 a₂=15 a_n=3a_n−1−3a_n−2+a_n−3 Zdefiniuj sobie funkcję tworzącą A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞3a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞(−3a_n−2)xⁿ+ ∑_n=3^∞a_n−3xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹)−3x²(∑_n=3^∞(a_n−2)xⁿ⁻²)+ x³(∑_n=3^∞a_n−3xⁿ⁻³) ∑_n=3^∞a_nxⁿ=3x(∑_n=2^∞a_nxⁿ)−3x²(∑_n=1^∞(a_n)xⁿ)+ x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−5x−15x²=3x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−5x) −3x²(∑_n=0^∞(a_n)xⁿ−0)+x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−5x−15x²=3x∑_n=0^∞a_nxⁿ−15x² −3x²(∑_n=0^∞(a_n)xⁿ)+x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ(1−3x+3x²−x³)=5x

	5x
∑n=0∞anxn=
	(1−x)3

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
∑n=0∞n(n+1)xn−1=		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=0∞n(n+1)xn−1=
	(1−x)3

	2x
∑n=0∞n(n+1)xn=
	(1−x)3

	5x
A(x)=
	(1−x)3

	5
A(x)=∑n=0∞		n(n+1)xn
	2

	5
an=		n(n+1)
	2

a7: +5 +10+15 +20 +25 itd

a7: czyli a_n=a_n−1+5*(n−1)

a7: ?

Mariusz: Przyjmując że indeksujesz ciąg od jedynki

anonim123: dziękuję