i tak nikt nie czyta łalgebra: Rozstrzygnąć, czy istnieje macierz A, taka, że A⁵ = I_5x5 ≠ A, gdzie I_5x5 oznacza macierz identycznościową rozmiaru 5x5. Chętnie przyjmę wskazówki, tudzież rozwiązanie, bo nawet nie mam pomysłu jak to ruszyć.

b.: Jeśli A może mieć wyrazy zespolone, to jest to dość łatwe −− wskazówka: można znaleźć taką macierz diagonalną. Dla rzeczywistych może nieco trudniej, może najpierw zastanów się nad przypadkiem macierzy A rozmiaru 2x2, takiej, żeby A⁵=I, ale A ≠ I. Jeśli uda Ci się taką znaleźć, to można ją uzupełnić do macierzy 5x5 spełniającej warunki zadania.

Mariusz: r⁵ −1 =0 Będzie to dowolna macierz podobna do macierzy 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 Wynika to z twierdzenia Cayleya−Hamiltona , z tego że podana macierz jest macierzą stowarzyszoną, oraz z tego że podobieństwo macierzy zachowuje wartości własne macierzy

b.: @Mariusz: Rzeczywiście, można też tak, chociaż są i inne macierze.

Mariusz: Z twierdzenia Cayleya−Hamiltona wziąłem równanie charakterystyczne pewnej macierzy Napisałem macierz stowarzyszoną z równaniem r⁵−1=0 a następnie skorzystałem z tego że macierze podobne mają te same wartości własne aby dostać więcej takich macierzy Tutaj chyba zastosowałem twierdzenie Cayleya−Hamiltona "nie w tę stronę" bo twierdzenie odwrotne nie musi być prawdziwe Właśnie zastanawiałem się czy to co podałem to wszystkie takie macierze choć podejrzewałem że jednak nie będą to wszystkie Z drugiej strony w treści jest napisane czy istnieje więc wystarczy podać jedną b gdyby tak zmodyfikować to zadanie to miałbyś pomysł na znalezienie wszystkich takich macierzy

b.: Nie miałbym pomysłu, takich macierzy jest bardo dużo. Np. można brać macierz obrotu 2x2 o kąt 2π/5 (lub wielokrotność), a poza tym jedynki na przekątnej. Można wziąć dwie takie macierze obrotu (i dodatkowo jedynkę na przekątnej). Można wziąć macierz podobną do takiej. Ale też takie jak Ty wypisałeś. Nie wiem, czy to już wszystko i czy to można jakoś sprytnie zapisać.

Mariusz: b bawiłeś się metodami numerycznymi ?

Filip: ja sie bawiłem, nawet zdałem ten przedmiot na studiach na 3.0

Mariusz: Jak widać ten temat jest dość luźno związany z wartościami własnymi Wiem że można znaleźć gotowy kod w Numerical recipes in C ale pełno w nim instrukcji break no i czytając kod dość trudno wyłapać o co w nim chodzi Jeżeli chodzi o samodzielne próby napisania kodu to Metodę redukcji macierzy do postaci Hessenberga znalazłem dość dobrze opisaną w książce Fortuna , Macukow, Wąsowski Metody numeryczne (Macierz jest w postaci Hessenberga gdy jest w postaci U+T gdzie U to macierz górnotrójkątna a T to macierz trójdiagonalna) Redukcji takiej należy dokonać zachowując podobieństwo macierzy Redukcja taka przyśpieszy nam sam rozkład QR ale nie zbieżność metody iteracyjnej W książce tej była dobrze opisana jedynie redukcja za pomocą eliminacji Gaussa (aby zapewnić podobieństwo macierzy musimy wykonywać operacje elementarne zarówno na wierszach jak i na kolumnach) Jednak problem z eliminacją Gaussa jest taki że może być niestabilna numerycznie Jeśli chodzi o rozkład QR to we wszystkich źródłach pokazywali rozkład wykonując mnożenie macierzy przez macierze obrotów bądź odbić Jednak nigdzie nie pokazali jak efektywnie mnożyć macierz przez macierze obrotów bądź odbić Są to na tyle szczególne macierze że mnożenie przez nie wymaga mniej operacji niż standardowe O(n³) Mnie udało się rozpisać mnożenie przez macierze obrotów Aby uzyskać macierz R , mnożymy lewostronnie macierz A przez macierze obrotów Aby uzyskać macierz Q , mnożymy prawostronnie macierz I przez te same macierze obrotów przez które wcześniej mnożyliśmy macierz A Lewostronne mnożenie macierzy przez macierze obrotów modyfikuje tylko dwa wiersze Prawostronne mnożenie macierzy przez macierze obrotów modyfikuje tylko dwie kolumny Mnożenie macierzy − tutaj jest wzorek i wystarczą trzy pętle ale aby mnożenie dobrze działało trzeba macierz skopiować Jeżeli chodzi o metodę QR to pokazali ją tylko w podstawowej wersji A₀ = A A_i = Q_iR_i A_i+1 = R_iQ_i Jednak nie każdy już pokazuje że tworzy ona ciąg macierzy podobnych do A Jeżeli ten ciąg jest zbieżny do macierzy w postaci Schura to możemy łatwo odczytać wartości własne Dla macierzy o elementach rzeczywistych macierz w postaci Schura jest to macierz blokowo trójkątna gdzie na diagonali mogą się znajdować co najwyżej bloki 2x2 Rzeczywiste wartości własne takiej macierzy znajdują się na diagonali a zespolone można łatwo obliczyć z bloków 2x2 występujących na diagonali Problem z metodą QR w podstawowej wersji jest taki że może nie być zbieżna do postaci Schura a nawet jeśli jest zbieżna to dość często bardzo wolno Nic nie znalazłem o sposobie wyboru przesunięcia ani o deflacji Jeżeli chodzi o deflację to podejrzewam że tutaj przydatne będzie zapisanie metody QR tak aby działała blokowo (tylko na wybranym bloku danej macierzy)

Maciess: W oryginalnym poleceniu było zastrzeżenie, że wyrazy macierzy mają być całkowite. Zadanie pochodzi z egzaminu wstępnego na studia drugiego stopnia jakby ktoś był ciekawy..

Mariusz: Maciess skąd wiesz że to zadanie pochodzi z egzaminu wstępnego na studia drugiego stopnia ? Jeżeli wyrazy macierzy mają być całkowite to do macierzy podobnych do 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 dojdzie jeszcze warunek (det(P))²=1 gdzie P to macierz przekształcająca daną macierz w macierz podobną do niej tzn macierze A oraz B będą podobne gdy B = P⁻¹AP , dla dowolnej nieosobliwej macierzy P , tutaj mamy dodatkowo wymuszony warunek (det(P))²=1 Jeżeli nie lubimy macierzy odwrotnej to podobieństwo macierzy można zapisać tak Macierze A oraz B są podobne gdy PB=AP , dla dowolnej nieosobliwej macierzy P Maciess odpowiedziałbyś na dodatkowe pytanie Czy można dostać też inne macierze niż te uzyskane przez podobieństwo do macierzy stowarzyszonej równania r⁵−1=0 Jak tak to jaką miałyby postać wszystkie rozwiązania

Mariusz: " macierze A oraz B będą podobne gdy B = P⁻¹AP , dla dowolnej nieosobliwej macierzy P " Tu źle się wyraziłem powinno być Macierze A oraz B będą podobne ,jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P taka że B = P⁻¹AP ale co się stało że dwa razy napisałem fałszywe zdanie

Maciess: Skojarzyłem, bo przygotowywałem się z tych zadań do egzaminu. http://magweb.math.uni.wroc.pl/egzmgr/mgr2022.02/Otw-2202.pdf Nie czytałem dokładnie wszystkiego co napisałeś, przejrzałem tylko fragmencik. Pamiętam że podałem ten sam przykład i uzasadniałem odwołując się do operacji elementarnych. Jutro możemy pozastanawiać się nad tą pełną charakteryzacją rozwiązania. Chociaż strzelam, że będzie tylko tych 5, które łatwo wskazać.

Maciess: Mariusz − odpowiadając na twoje pytanie − wydaje mi się, że nie wszystkie macierze, które spelniają warunki zadania, należą do tej samej klasy abstrakcji. Ale to tylko mi sie wydaje, nie wiem jak szukać tych rozwiązań, które nie są podobne. Pokazałem tylko, że już z samych rozwiązań podobnych do tego z 13:49 dostajemy nieskończenie wiele rozwiązań.

Mariusz: Ty miałeś ich przeliczalnie wiele bo elementy były całkowite dodatkowo macierz podobieństwa P musiała spełniać warunek (det(P))²=1 aby macierze podobne miały całkowite elementy i w zadaniu które tobie dali pomysł użytkownika b by się nie sprawdził Uzasadniałeś operacjami elementarnymi To chyba musiałeś wykonywać operacje elementarne zarówno na wierszach jak i na kolumnach bo inaczej nie zachowywałbyś podobieństwa macierzy Ja tak samo napisałem redukcję macierzy do postaci Hessenberga bo nie znalazłem jak efektywnie mnożyć macierz przez macierze odbić Householdera (do samego rozkładu QR wystarczy tylko lewostronne mnożenie przez macierze odbić, do redukcji do postaci Hessenberga musimy już umieć obustronnie mnożyć macierz przez macierze odbić)

Maciess: @Mariusz Operacjami elementarnymi uzasadniałem poprawność przykładu, nie odwołyywałem się w żaden sposób do podobieństwa wtedy. Nie uczyłem sie nigdy o postaciach macierzy o których wspominasz.

Mariusz: A skąd ten przykład wziąłeś bo mnie na niego naprowadziło twierdzenie Cayleya Hamiltona oraz to że jest to macierz stowarzyszona dla równania charakterystycznego λ⁵−1=0 Podobieństwem macierzy można pokazać że macierz ta nie jest jedyna choć akurat o to tutaj nie pytają Co do tego twierdzenia Cayleya Hamiltona to pewnie nie w tę stronę je zastosowałem