ciągi aniki: ktoś ma pomysł jak do tego podejść? https://pl-static.z-dn.net/files/dcc/521ce83495befcebd02f55f6ec9733a1.png

szukaj_ w_necie: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=46&t=98487&sid=e4d3a9faee267464e73798e056c8daca

aniki: dzięki, szkoda tylko, że nie ma tam wyjaśnienia sposobu rozwiązania

chichi: Wystarczy zapoznać się z teorią, bądź znaleźć analogiczne przykłady, których setki w internecie, ale po co, przecież tutaj dostaje się wszystko na tacy

chichi: Miłej lektury https://home.agh.edu.pl/~jkwasny/WMD2018/rekurencja.pdf

chichi: W pdf są również rozwiązane dokładnie analogiczne przykłady

Mariusz: a_n = 2a_n−1+4a_n−2−8a_n−3+4*2ⁿ a₀ = 0 a₁ = 8 a₂ = 8 Pierwszym zdefiniowanym wyrazem ciągu jest wyraz o indeksie zero więc definiując funkcję tworzącą jako szereg potęgowy o współczynnikach będących wyrazami ciągu także zaczynasz wyrazy szeregu indeksować od zera A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n ≥ 3 więc wstawiając szereg do równania rekurencyjnego zaczynasz indeksować wyrazy szeregu potęgowego od n=3 ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞2a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞4a_n−2xⁿ +∑_n=3^∞(−8)a_n−3xⁿ+∑_n=3^∞4*2ⁿxⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=2x(∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+4x²(∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻²)

	32x3
−8x3(∑n=3∞an−3xn−3)+
	1−2x

∑_n=3^∞a_nxⁿ=2x(∑_n=2^∞a_nxⁿ)+4x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ)

	32x3
−8x3(∑n=0∞anxn)+
	1−2x

∑_n=0^∞a_nxⁿ − 0 − 8x − 8x² = 2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ − 0 − 8x)

	32x3
+4x2(∑n=0∞anxn − 0) −8x3(∑n=0∞anxn)+
	1−2x

∑_n=0^∞a_nxⁿ − 0 − 8x − 8x² =2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ) − 16x²

	32x3
+4x2(∑n=0∞anxn)−8x3(∑n=0∞anxn)+
	1−2x

	32x3
(1−2x−4x2+8x3)(∑n=0∞anxn) = −16x2+8x2+8x +
	1−2x

	32x3
(1−2x−4x2+8x3)(∑n=0∞anxn) = −8x2+8x +
	1−2x

	(−8x2+8x)(1−2x)+32x3
(1−2x−4x2+8x3)A(x) =
	(1−2x)

	−8x2+8x+16x3−16x2+32x3
(1−2x−4x2+8x3)A(x) =
	(1−2x)

	48x3−24x2+8x
(1−2x−4x2+8x3)A(x) =
	(1−2x)

	48x3−24x2+8x
A(x) =
	(1−2x−4x2+8x3)(1−2x)

	48x3−24x2+8x
A(x) =
	(1+8x3−2x(1+2x))(1−2x)

	48x3−24x2+8x
A(x) =
	((1+2x)(1−2x+4x2)−2x(1+2x))(1−2x)

	48x3−24x2+8x
A(x) =
	((1+2x)(1−4x+4x2))(1−2x)

	48x3−24x2+8x
A(x) =
	(1+2x)(1−2x)3

48x3−24x2+8x		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1+2x)(1−2x)3		1+2x		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3

48x³−24x²+8x = A(1−2x)³+B(1−2x)²(1+2x)+C(1+2x)(1−2x)+D(1+2x) 48x³−24x²+8x = A(1−6x+12x²−8x³)+B(1−4x²)(1−2x)+C(1−4x²)+D(1+2x) 48x³−24x²+8x = A(1−6x+12x²−8x³)+B(1−2x−4x²+8x³)+C(1−4x²)+D(1+2x) A+B+C+D = 0 −6A−2B+2D = 8 12A−4B−4C = −24 −8A+8B = 48 B = 6 + A 2A+C+D = −6 −8A + 2D= 20 8A−4C = 0 B = 6 + A D = 10+4A C = 2A 2A+C+D = −6 B = 6 + A D = 10+4A C = 2A A = −2 A = −2 B = −4 C = −4 D = 2

48x3−24x2+8x		−2		4		−4		2
	=		+		+		+
(1+2x)(1−2x)3		1+2x		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3

	1
∑n=0∞(−2)nxn =
	1+2x

	1
∑n=0∞2nxn =
	1−2x

d		d		1
	(∑n=0∞2nxn) =		(		)
dx		dx		1−2x

	−1
∑n=0∞n2nxn−1 =		(−2)
	(1−2x)2

	2
∑n=1∞n2nxn−1 =
	(1−2x)2

	2
∑n=0∞(n+1)2n+1xn =
	(1−2x)2

	2
2(∑n=0∞(n+1)2nxn) =
	(1−2x)2

	1
∑n=0∞(n+1)2nxn =
	(1−2x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)2nxn) =		(		)
dx		dx		(1−2x)2

	−2
∑n=0∞n(n+1)2nxn−1 =		(−2)
	(1−2x)3

	4
∑n=1∞n(n+1)2nxn−1 =
	(1−2x)3

	4
∑n=0∞(n+1)(n+2)2n+1xn =
	(1−2x)3

	4
2(∑n=0∞(n+1)(n+2)2nxn) =
	(1−2x)3

	2
∑n=0∞(n+1)(n+2)2nxn =
	(1−2x)3

48x3−24x2+8x		−2		4		−4		2
	=		+		+		+
(1+2x)(1−2x)3		1+2x		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3

48x3−24x2+8x
	=∑n=0∞(−2*(−2)nxn)+∑n=0∞4*2nxn
(1+2x)(1−2x)3

+∑_n=0^∞−4*(n+1)*2ⁿxⁿ+∑_n=0^∞(n+1)(n+2)*2ⁿxⁿ

48x3−24x2+8x
	=
(1+2x)(1−2x)3

∑_n=0^∞((−2*(−2)ⁿ+4*2ⁿ−4*(n+1)*2ⁿ+(n+1)(n+2)*2ⁿ)xⁿ)

48x3−24x2+8x
	=
(1+2x)(1−2x)3

∑_n=0^∞(−2*(−2)ⁿ+(n²−n+2)*2ⁿ)xⁿ a_n = −2*(−2)ⁿ+(n²−n+2)*2ⁿ

Mariusz: Dość podobnym pomysłem do funkcji tworzącej jest przekształcenie Z Z(y(n)) = ∑_n=−∞^∞y(n)z⁻ⁿ Tutaj zakładasz że wyrazy o ujemnych indeksach są równe zero Dla wygody można by przesunąć indeksowanie ciągu a₀ = 0 a₁ = 8 a₂ = 8 a_n+3=2a_n+2+4a_n+1−8a_n+32*2ⁿ ∑_n=0^∞a_n+3z⁻ⁿ=∑_n=0^∞2a_n+2z⁻ⁿ+∑_n=0^∞4a_n+1z⁻ⁿ

	32z
+∑n=0∞−8anz−n+
	z−2

z³(∑_n=0^∞a_n+3z⁻ⁿ⁻³)=2z²(∑_n=0^∞a_n+2z⁻ⁿ⁻²)+

	32z
4z(∑n=0∞an+1z−n−1)−8(∑n=0∞anz−n)+
	z−2

z³(∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ−0z⁰−8z⁻¹−8z⁻²)=2z²(∑_n=0^∞a_nz⁻ⁿ − 0z⁰ − 8z⁻¹)

	32z
+4z(∑n=0∞anz−n − 0z0)−8(∑n=0∞anz−n)+
	z−2

	32z
z3A(z)−8z2−8z = 2z2A(z) −16z + 4zA(z)−8A(z) +
	z−2

	32z
(z3−2z2−4z+8)A(z) = 8z2−8z+
	z−2

	(8z2−8z)(z−2)+32z
(z3−2z2−4z+8)A(z) =
	z−2

	8z3−24z2+48z
(z3−2z2−4z+8)A(z) =
	z−2

	8z3−24z2+48z
A(z) =
	(z3−2z2−4z+8)(z−2)

	8z3−24z2+48z
A(z) =
	(z2(z−2)−4(z−2))(z−2)

	8z3−24z2+48z
A(z) =
	((z−2)(z2−4))(z−2)

	8z3−24z2+48z
A(z) =
	(z−2)3(z+2)

a_n = Z⁻¹(A(z)) Jak odwrócić przekształcenie Z ? Otóż tutaj działają podobne pomysły co przy przekształceniu Laplace Jeżeli zdefiniujemy splot ciągów a_n oraz b_n jako (a * b)_n = ∑_k=0ⁿa_kb_n−k to transformata Z splotu będzie iloczynem transformat

	8z3−24z2+48z
A(z) =
	(z−2)3(z+2)

A(z)		8z2−24z+48
	=
z		(z−2)3(z+2)

8z2−24z+48		A		B		C		D
	=		+		+		+
(z−2)3(z+2)		z+2		z−2		(z−2)2		(z−2)3

8z²−24z+48 = A(z−2)³+B(z−2)²(z+2)+C(z−2)(z+2)+D(z+2) 8z²−24z+48 = A(z³−6z²+12z−8)+B(z²−4)(z−2)+C(z²−4)+D(z+2) 8z²−24z+48 = A(z³−6z²+12z−8)+B(z³−2z²−4z+8)+C(z²−4)+D(z+2) A+B = 0 −6A−2B+C = 8 12A−4B+D = −24 −8A+8B−4C+2D = 48 B = −A −4A+C=8 16A+D = −24 −16A−4C+2D = 48 B = −A C = 8+4A D = −24−16A −16A−4(8+4A)+2(−24−16A) = 48 B = −A C = 8+4A D = −24−16A A=−2 A = −2 B = 2 C = 0 D = 8

8z2−24z+48		−2		2		8
	=		+		+
(z−2)3(z+2)		z+2		z−2		(z−2)3

8z3−24z2+48z		−2z		2z		8z
	=		+		+
(z−2)3(z+2)		z+2		z−2		(z−2)3

	z2
(2n*2n)(z) = ∑n=0∞(∑k=0n2k*2n−k)z−n =
	(z−2)2

	z2
∑n=0∞(2n∑k=0n1)z−n = ∑n=0∞((n+1)2n) =
	(z−2)2

	z3
((n+1)2n * 2n)(z) = ∑n=0∞(∑k=0n(k+1)2k2n−k)z−n =
	(z−2)3

	z3
((n+1)2n * 2n)(z) = ∑n=0∞2n(∑k=0n(k+1))z−n =
	(z−2)3

	n(n+1)		z3
((n+1)2n * 2n)(z) = ∑n=0∞2n(		+(n+1))z−n =
	2		(z−2)3

	(n+2)(n+1)		z3
((n+1)2n * 2n)(z) = ∑n=0∞(		2n)z−n =
	2		(z−2)3

8z		8z−4z2		4z2
	=		+
(z−2)3		(z−2)3		(z−2)3

8z		−4z(z−2		4z2
	=		+
(z−2)3		(z−2)3		(z−2)3

8z		−4z		4z2
	=		+
(z−2)3		(z−2)2		(z−2)3

8z		−4z+2z2		2z2		4z2
	=		−		+
(z−2)3		(z−2)2		(z−2)2		(z−2)3

8z		2z(z−2)		2z2		4z2−2z3		2z3
	=		−		+		+
(z−2)3		(z−2)2		(z−2)2		(z−2)3		(z−2)3

8z		2z		2z2		−2z2(z−2)		2z3
	=		−		+		+
(z−2)3		z−2		(z−2)2		(z−2)3		(z−2)3

8z		2z		2z2		−2z2		2z3
	=		−		+		+
(z−2)3		z−2		(z−2)2		(z−2)2		(z−2)3

8z		2z		4z2		2z3
	=		−		+
(z−2)3		z−2		(z−2)2		(z−2)3

8z3−24z2+48z		−2z		4z		4z2		2z3
	=		+		−		+
(z−2)3(z+2)		z+2		z−2		(z−2)2		(z−2)3

a_n = −2*(−2)ⁿ+(4−4(n+1)+(n+1)(n+2))2ⁿ a_n = −2*(−2)ⁿ+(n²−n+2)2ⁿ Jak ktoś lubi przekształcenie Laplace to też można bo jest to równanie liniowe o stałych współczynnikach Korzystając z wykładniczej funkcji tworzącej możemy bardzo łatwo dostać równanie różniczkowe także liniowe o stałych współczynnikach z warunkami początkowymi y'''−2y''−4y'+8y = 32e^2t y(0) = 0 y'(0) = 8 y''(0) = 8 I do tego równania przekształcenie Laplace L(f(t)) = ∫₀^∞f(t)e^−st dobrze pasuje

Orfeusz: Współczynniki A, B, C, D w: 8z²−24z+48 = A(z−2)³+B(z−2)²(z+2)+C(z−2)(z+2)+D(z+2) można wyznaczyć również w ten sposób: dla z = 2: 32 − 48 + 48 = 4D ⇒ D = 8 dla z = −2: 32 + 48 + 48 = −64A ⇒ A = −2 dla z = 1: 8 − 24 + 48 = −A + 3B − 3C + 3D ⇒ 32 = 2 + 3B − 3C + 24 /:3 ⇒ B = C + 2 dla z = 0: 48 = −8A + 8B − 4C + 2D ⇒ 48 =16 + 8(C + 2) − 4C + 16 /:4 ⇒ C = 0 i B = 2

Eurydyka:

Mila: Metoda przewidywań. (1) a_n = 2a_n−1+4a_n−2−8a_n−3+4*2n a_n − 2a_n−1−4a_n−2+8a_n−3=4*2n a₀=0, a₁=a₂=8, a₃=80 [ z równania (1) ] 1)Równanie charakterystyczne: x³−2x²−4x+8=0⇔(x−2)²*(x+2)=0 x=2 lub x=−2 2) Postać ciągu: a_n⁽¹⁾=A*2ⁿ+B*n*2ⁿ+C*(−2)ⁿ a_n⁽²⁾=D*n²*2ⁿ (*) a_n=A*2ⁿ+B*n*2ⁿ+C*(−2)ⁿ+D*n²*2ⁿ 3) Korzystając z war. początkowych i równania (*) mamy: A+C=0, A+B−C+D=4, A+2B+C+4D=2, A+3B−C+9D=10 stąd A=2, B=−1,C=−2, D=1 4) a_n=2*2ⁿ−n*2ⁿ−2*(−2)ⁿ+n²*2ⁿ a_n=2ⁿ*(2−n+n²)−2*(−2)ⁿ sprawdzam a₃ : a₃=2³*(2−3+9)−2*(−8)=64+16=80.

Mariusz: Orfeusz co kto lubi trzeba jednak pamiętać aby każdej z wartości użyć tylko raz Wydaje się że sposób który lubisz najlepiej sprawdza się gdy bieguny są jednokrotne (jednokrotne rzeczywiste jeżeli nie bawimy się zespolonymi) A jeszcze jedno w przypadku odwracania przekształcenia Z metoda residuów wydaje się być wygodniejsza choć liczenie pochodnych może nie być krótsze

	1		d
Z−1(F(z)) = ∑ limz→zk				((z−zk)kiF(z)zn−1)
	(ki − 1)!		dz

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich residuach (Tutaj mamy dwa bieguny z₁ = −2 jednokrotny oraz z₂ = 2 trzykrotny) z_k − k. biegun k_i − krotność k. bieguna Co do przewidywania to ja tej metody nie lubię − nie dość że jest ograniczona to jest w niej dużo zapamiętywania bez uzasadnienia Przekształcenie Z nie jest złe ale funkcje tworzące i tak są wygodniejsze w użyciu i jest ich więcej Zwykła funkcja tworząca dla ciągu jedynek daje szereg geometryczny Wykładnicza funkcja tworząca dla ciągu jedynek daje funkcję e^x Funkcja tworząca Dirichleta dla ciągu jedynek daje funkcję ζ(x) Na wykładzie z matematyki dyskretnej zwykle podawane są zwykła funkcja tworząca oraz wykładnicza funkcja tworząca