Całka niewymierna anonim123: Czy dobrze mam dotąd policzona całkę z funkcji niewymiernej? https://zapodaj.net/fc634c3f13882.jpg.html

anonim123:

	x2+1
Całka jest postaci		i za t podstawiałam całe wyrażenie pod pierwiastkiem
	√3x+2

łącznie z nim

anonim123: wiem że na pewno takie podstawienie powinno zadziałać tylko nie wiem czy robię dobrze

wredulus_pospolitus:

	3		dx
t = √3x+2 −> dt =		*		<−−− czyli to 'załatwia mianownik'
	2		√3x+2

więc zostaje nam licznik: x² + 1 = ....

	t2 − 2		(t2−2)2
t = √3x+2 ⇔ t2 = 3x + 2 ⇔ t2 − 2 = 3x ⇔		= x ⇔ x2 =		⇔
	3		9

	(t2−2)2
⇔ x2 + 1 =		+ 1
	9

podstawiasz co policzone i masz gotowe

anonim123:

	2
po przekształceniach mi wychodzi tyle czy to dobrze?		(∫13dx+∫t4−4∫t2)
	27

wredulus_pospolitus: co to za dx w pierwszej całce? czemu nie ma dt w pozostałych

wredulus_pospolitus:

	x2+1		1		3
∫		dx = ∫		(t2−2)2 dt + ∫		dt
	√3x+2		6		2

wredulus_pospolitus: a może faktycznie masz rację ... nie wiem ... nie chce mi się tego przeliczać

wredulus_pospolitus: policz całkę ... z wyniku policz pochodną i sprawdź czy wyjdzie Ci to samo

anonim123: coś mam źle nie wiem czy w dalszych obliczeniach czy w tych podanych tutaj może ktoś sprawdzić co mam ewentualnie niedobrze?

wredulus_pospolitus: to pokaż swoje przekształcenia

anonim123:

	2		1		4
wychodzi mi		*(13x+		*p({3x+2})5−		*(√3x+2)3)
	27		5		3

robiłam tak jak w pierwszym poście

anonim123:

	1
powinno być		*(√3x+2)3
	5

anonim123: przepraszam do 5 w 15:46

wredulus_pospolitus:

dx		2
	=		dt
√3x+2		3

	1
x2 + 1 =		(t4 − 4t2 + 13)
	9

	2		8		26
∫ ... dx =		∫t4 dt −		∫t2 dt +		∫ dt =
	27		27		27

	2*3		8*5		26*5*3
=		t5 −		t3 +		t =
	405		405		405

	2		2
=		*t( 3t4 − 20t2 + 195) =		*√3x+2*( 3(9x2 + 12x + 4) − 20(3x+2) + 195) =
	405		405

	2
=		*√3x+2*( 27 x2 − 24x + 167) + C ; C∊ R
	405

i to będzie prawidłowy wynik

I'm back: Zauważyłem, że masz bardzo często problem z tym aby zauważyć że podstawienie, zamiana, wyznaczenie można zrobić wcześniej / później i w ten sposób ułatwić sobie same rachunki. W tym za daniu np. Ty wyliczała dx w moim odczuciu 'mocno na okolo' zwłaszcza że byli to (moim zdaniem) zbyteczne. Z drugiej strony końcowy wynik też (w moim odczuciu) dziwnie zapisalas

anonim123: Skąd wziąłeś pierwszą i drugą linijkę w 15:54?

anonim123: i te działania w których pojawia się pierwszy raz w mianowniku 405 ?

anonim123:

	2		1		8		1		26
bo mi wychodzi		*		*t5−		*		*t3+
	27		5		27		3		27

wredulus_pospolitus: 1) dwie pierwsze linijki to podsumowanie 15:03 2)

	26
to co masz jest PRAWIE ok ... brakuje t przy
	27

3) teraz każdy z tych członów przemnożyłem (patrz licznik w poszczególnych ułamkach) tak aby mieć wspólny mianownik −−−> 27*3*5 = 405

anonim123: Dziękuję

anonim123: I'm Back próbowałam zrobić inny przykład obliczając dx na dwa sposoby i w każdym wychodzi mi Inny wynik w kalkulatorze pochodnych i w samym moim rozwiązaniu proszę o pomoc https://zapodaj.net/e484fcdb66544.jpg.html

anonim123:

	√x
całka do policzenia ∫
	√2+x

anonim123: ?

chichi: √x + 2 = t ⇒ x + 2 = t² ⇒ x = t² − 2 ⇒ √x = √t² − 2

1	1		√x
		dx = dt, zatem: ∫		dx = 2∫√t2 − 2dt
2	√x + 2		√x + 2

całkę, którą otrzymałem łatwo policzysz z gotowego wzoru, a jak nie chcesz ze wzoru to zastosuj podstawienie trygonometryczne

anonim123: skąd jest druga linijka?

chichi: wiesz jak się całkuje przez podstawienie?

anonim123: tak podstawia się pod zmienną t i potem wraca z podstawieniem

chichi: no to na czym polega Twoje pytanie z tą drugą linijką?

anonim123: wszystkiego nie wiem to chyba na początku pochodna z √x+2? a potem korzystamy z tej pochodnej obliczonej i z tego √x=√t²−2 ale jak wyliczyć tą całkę?

anonim123: za zmienną mam podstawić t²−2 w liczeniu tej całki?

chichi: Ty nie dość, że kłamiesz, że wiesz jak się całkuje przez podstawienie, to jeszcze proponujesz jakieś bzdurne podstawienie mimo iż napisałem jakiego podstawienia należy użyć, lub też skorzystać ze wzoru...

anonim123: w większości przypadków wiem jak tylko tutaj coś nie wychodzi co to jest podstawienie trygonometryczne

chichi: https://www.sfu.ca/math-coursenotes/Math%20158%20Course%20Notes/sec_Trig_Sub.html

anonim123: https://www.slideshare.net/Szewster/wzory-na-calki a tutaj nie ma tego we wzorach bo chyba nie

anonim123: ?

anonim123: czyli jakie podstawienie tu trzeba zrobić?

anonim123: może ktoś napisać?

anonim123: https://zapodaj.net/ffcee86176e2e.jpg.html https://zapodaj.net/981f6eaf8beae.jpg.html A tutaj dobrze liczę tą całkę tylko bez tego podstawienia tak na około?

anonim123: ?

chichi: nikt nie odpisuje, bo nikomu się nie chce sprawdzać tych pokreślonych wymiocin. przepisz to tutaj, to ktoś sprawdzi, wstydu nie macie...

anonim123:

	−2t2
x=
	t2−1

	4t
dx=
	(t2−1)2

−2t2		t2−1		2t		−1
	*		*		*		=
t2−1		−2		t2−1		t2

	2t		−1
=t2*		*
	t2−1		t2

	t
czyli wychodzi ∫
	t2−1

chichi: a może byś tak pokazała jak wygląda całka? rozniczkujesz sobie stronami z lewej dx jest, z prawej dt nie ma, to samo pod znakiem całki, ciągle to robisz...

anonim123:

	4t
dx=		dt
	(t2−1)2

	x		dx		dx
całka z której liczę ∫√				przy czym		jest poza pierwiastkiem a
	2+x		x		x

wszystko reszta pod

Mariusz: Co do całki ∫√t²−2dt to akurat lepiej zastosować podstawienie √t²−2=u−t Jeżeli masz całkę postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) to funkcja wymierna dwóch zmiennych to stosujesz podstawienia 1. Gdy a>0 √ax²+bx+c=t±√ax 2. Gdy c>0 √ax²+bx+c=xt±√c 3 Gdy b²−4ac > 0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t W pierwszych dwóch podstawieniach znak + albo − możesz sama wybrać W trzecim podstawieniu możesz wybrać pierwiastek którego chcesz użyć

chichi: dlaczego lepiej?

chichi: i skądżeś wzięła to dziwaczne podstawienie?

Mariusz: bo dostaje całkę z potęgi dzieciaku

Mariusz: To jest standardowe podstawienie dzieciaku i do tego sprowadza do całki z funkcji wymiernej Zajrzyj sobie np do pierwszych lepszych tablic

chichi: a ja dostaje prostą całkę trygonometryczną staruchu

Mariusz: Anonim liczyłaś całki z funkcji wymiernych gdzie trzeba było wykorzystać wzór redukcyjny

	1
na całkę ∫		dx
	(x2+1)n

bo nie wiem czy nie za szybko przeszłaś do całek z funkcji niewymiernych

Mariusz: To o tym standardowym podstawieniu to dotyczyło wpisu 16 sie 2022 16:50 a podstawiając w całce ∫√t²−1dt √t²−1=y−t otrzymujemy całkę z potęgi która jest na pewno prostsza niż ta trygonometryczna którą proponuje chichi −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∫√t²−1dt √t²−1=y−t t²−1 = y²−2yt+t² −1 = y²−2yt 2yt=y²+1

	y2+1
t=
	2y

	2y*2y−2(y2+1)
dt =		dy
	4y2

	y2−1
dt =		dy
	2y2

	2y2−y2−1
y−t=
	2y

	y2−1
y−t=
	2y

	y2−1	y2−1
∫			dy
	2y	2y2

	(y2−1)2
∫		dy
	4y3

	y4−2y2+1
∫		dy
	4y3

1		1		2
	∫(y+		−		)dy
4		y3		y

1		1		1
	(∫ydy+∫		dy−2∫		dy)
4		y3		y

Czyli tak jak wcześniej pisałem mamy całkę z potęgi ∫√t²−1dt

	1
t=
	cos(y)

	sin(y)
dt =		dy
	cos2(y)

	sin(y)
∫ √1cos2(y)−1		dy
	cos2(y)

	sin(y)
∫ √1−cos2(y)cos2(y)		dy
	cos2(y)

	sin(y)
∫ √sin2(y)cos2(y)		dy
	cos2(y)

Tutaj należałoby uzasadnić dlaczego możemy opuścić moduł pozbywając się pierwiastka Zatem ta cała "prosta" całka chichiego wygląda następująco

	sin2(y)
∫		dy
	cos3(y)

i rzeczywiście jest prostsza od całki z funkcji potęgowej

	sin2(y)		sin(y)	2sin(y)
∫		dy=∫			dy
	cos3(y)		2	cos3(y)

	sin2(y)		1	sin(y)		1		cos(y)
∫		dy=			−		∫		dy
	cos3(y)		2	cos2(y)		2		cos2(y)

	cos(y)		cos(y)
∫		dy=∫		dy
	cos2(y)		1−sin2(y)

u = sin(y) du=cos(y)dy

	1		1
∫		dy=∫		du
	1−u2		(1−u)(1+u)

1		A		B
	=		+
1−u2		1−u		1+u

1=A(1+u)+B(1−u) 1=A+B+Au−Bu 1=A+B+(A−B)u A+B=1 A−B=0 2A=1 2B =1

	1
A = B =
	2

	1		1		−1		1		1
∫		dy=−		∫		du+		∫		du
	1−u2		2		1−u		2		1+u

	1		1		1
∫		dy=		ln|1−u|+		ln|1+u|+C
	1−u2		2		2

	1		1		1+u
∫		dy=		ln|		|+C
	1−u2		2		1−u

	cos(y)		1		1+sin(y)
∫		dy=		ln|		|+C
	cos2(y)		2		1−sin(y)

	cos(y)		1		(1+sin(y))2
∫		dy=		ln|		|+C
	cos2(y)		2		(1−sin(y))(1+sin(y))

	cos(y)		1		(1+sin(y))2
∫		dy=		ln|		|+C
	cos2(y)		2		1−sin2(y)

	cos(y)		1		(1+sin(y))2
∫		dy=		ln|		|+C
	cos2(y)		2		cos2(y)

	cos(y)		1+sin(y)
∫		dy=ln|		|+C
	cos2(y)		cos(y)

	sin2(y)		1	sin(y)		1		1+sin(y)
∫		dy=			−		ln|		|+C
	cos3(y)		2	cos2(y)		2		cos(y)

chichi:

	x		a
w ogólności wzór: ∫√x2 − a2dx =		√x2 − a2 −		ln|x + √x2 − a2| + C,
	2		2

dowód: niech I = ∫√x² − a²dx, mamy: u = √x² − a², v' = 1

	x
u' =		, v = x
	√x2 − a2

	x2
I = x√x2 − a2 − ∫		dx
	√x2 − a2

	x2 − a2 + a2
I = x√x2 − a2 − ∫		dx
	√x2 − a2

	1
I = x√x2 − a2 − I − a2∫		dx
	√x2 − a2

2I = x√x² − a² − a²ln|x + √x² − a²| + C₁

	x		a2
I =		√x2 − a2 −		ln|x + √x2 − a2| + C,
	2		2

masz gotowy wzór, ale schemat rozwiązywania takich całek P.S. Mariusz, ty tą całkę która jest do policzenia po zaproponowanym przeze mnie podstawieniu liczysz dookoła świata i narzekasz. zresztą jak wszystko co robisz. na nią wystarczą 3 linijki, ale ty masz swoje METODY

chichi: albo schemat**

anonim123: Dziękuję