Zbiezność szeregu Zakonape: Zbadaj, czy szereg jest zbieżny: (odpowiedź: rozbieżny) (inf) ∑((e/n)ⁿ)*(n!) n=1 Otóż próbując różnych sposobów, w kóncu (używszy kalkulatora do granic ciągów) okazało się, że szereg nie spełnia podstawowego warunku zbieżności, czyli granica wyrazu ogólnego nie jest równa zero. W jaki sposób obliczyć granicę tego szeregu, a może jest jakiś inny sposób na zbadanie zbieżności?

kerajs: Stosując wzór Stirlinga na przybliżenie silni dostaje się dla dużych n szereg ∑√2πn , a ten nie spełnia warunku koniecznego zbieżności .

Zakonape: Genialne, kerajs, GENIALNE! Dziękuję, dziękuję, dziękuuuuuuuję

Mariusz: a wg mnie dobrze by było poszukać innego sposobu na policzenie tej granicy bo jak sam kerajs napisał wzór Stirlinga to tylko przybliżenie

Adamm: Kryterium porównawcze

Mariusz: A to granica jest równa zero ? Poza tym jak już podajesz pomysł z tym kryterium porównawczym to mógłbyś podać z czym porównać inaczej twoja odpowiedź niewiele wnosi

Mariusz:

	e
Co do granicy an=(		)n*(n!)
	n

to po zlogarytmowaniu dostajemy

	e
n*ln(		)+∑k=1nln(k)
	n

n*ln(e) − n*ln(n)∑_k=1ⁿln(k)

	k
n + ∑k=1nln(		)
	n

	1		k
n(1+		(∑k=1nln(		)))
	n		n

Czyżbyśmy dostali tutaj sumę Riemanna ?

Mariusz: Chociaż to niewiele daje bo nadal mamy symbol nieoznaczony tym razem ∞*0

Adamm: √2πn ~ (e/n)ⁿn! ze wzoru Stirlinga Z kryterium porównawczego szereg jest rozbieżny bo szereg ∑ √2πn jest rozbieżny

Adamm: Wzór Stirlinga to nie tylko przybliżenie, pokazuje on nam jak n! zachowuje się w ∞ To że działa on również dla dość dokładnie dla małych wartości n! jest czymś zaskakującym

Adamm: Dla małych wartości n

Zakonape: Czyli jeżeli stosować wzór Stirlinga, to nie do liczenia granicy, a pod warunkiem, że zastosuję go w przypadku kryterium porównawczego?

Adamm: Stosować tak jak się chce byleby poprawnie. √2πn(n/e)ⁿ ~ n! To mówi "standardowa" wersja wzoru Stirlinga Czyli jedna strona podzielona przez drugą daje w granicy 1

Zakonape: Rozumiem, dziękuję