okrąg wpisany w kwadrat Halston: Dany jest kwadrat o boku 4. Oblicz pole pomarańczowej częsci.

I'm back: Rozumiem że duży okrąg ma promień równy 4?!

Halston: Tak, promień dużego okręgu też 4.

kerajs: S− środek dużego okręgu O− środek małego okręgu A, B punkty przecięcia się okręgów. Zakładam, że duży okrąg przechodzi przez dwa wierzchołki kwadratu.

	5√2
Dorysuj trójkąt AOS. Mo on boki: 2, 2√2, 4 więc cos (ASO)=		, a cos
	8

	−√2
(SOA)=
	4

Szukane pole: P=2P_Δ+P_w0−P_wS

	−√2
gdzie Pw0 to pole wycinka koła o środku w O i o kącie 2π−2arccos
	4

	5√2
a PwS to pole wycinka koła o środku w S i o kącie 2arccos
	8

Halston: Czemu boki trójkąta AOS wynoszą 2 i 4? 2√2−ten wiem

Halston: 4 tez wiem ale nie wiem czemu 2

bc: bo r=2

Halston: ok a czemu akurat to pole P=2PΔ+Pw0−PwS tak liczymy?

ak: P= 2 PΔAOS +P_w(AOB) − P_W(SAB)

Halston: dzieki

Mariusz: Można by spróbować policzyć to pole całką

Mariusz: Przyjmując że równanie okręgu którego promieniem jest bok kwadratu to x²+y²=16 okrąg wpisany w ten kwadrat będzie miał równanie (x−2)²+(y+2)²=4 Punkty oznaczone u ak jako A oraz B będą miały współrzędne

	5−√7		−5−√7
A = (		,		)
	2		2

	5+√7		−5+√7
B = (		,		)
	2		2

Teraz należałoby napisać odpowiednie całki

Mariusz: Gdybyśmy chcieli liczyć to pole całką to mielibyśmy do policzenia następujące całki ∫_^5−√72^5+√7₂(2+√4x−x²−√16−x²)dx + 2∫_^5+√72⁴√4x−x²dx ∫√16−x²dx √16−x²=(4−x)t 16−x² = (4−x)²t² (4−x)(4+x) = (4−x)²t² 4+x = (4−x)t² 4+x = 4t²−xt² 4−4t²=−x−xt² 4(t²−1)=x(t²+1)

	(t2−1)
x=4
	t2+1

	2t(t2+1)−2t(t2−1)
dx = 4		dt
	(t2+1)2

	2t(t2+1−t2+1)
dx =4		dt
	(t2+1)2

	16t
dx =		dt
	(t2+1)2

	t2−1
(4−x)t = (4−4		)t
	t2+1

	t2+1−t2+1
(4−x)t =4(		)t
	t2+1

	8t
(4−x)t =
	t2+1

	128t2		128t2+128t4		−128t4
∫		dt = ∫		dt+∫		dt
	(t2+1)3		(t2+1)3		(1+t2)3

	128t2		128t2		(32t3)(−4t)
∫		dt =∫		dt+(∫		)dt
	(t2+1)3		(t2+1)2		(1+t2)3

	128t2		128t2		32t3		96t2
∫		dt =∫		dt+		−∫		dt
	(t2+1)3		(t2+1)2		(1+t2)2		(1+t2)2

	128t2		32t3		32t2
∫		dt =		+∫		dt
	(t2+1)3		(1+t2)2		(t2+1)2

	128t2		32t3		(−16t)(−2t)
∫		dt =		+∫		dt
	(t2+1)3		(1+t2)2		(t2+1)2

	128t2		32t3		16t		1
∫		dt =		−		+ 16∫		dt
	(t2+1)3		(1+t2)2		t2+1		1+t2

	128t2		32t3−16t(1+t2)		1
∫		dt =		+ 16∫		dt
	(t2+1)3		(1+t2)2		1+t2

	128t2		16t3−16t
∫		dt =		+ 16arctg(t)+C
	(t2+1)3		(1+t2)2

	128t2		1	8t(4t2−4)
∫		dt =			+ 16arctg(t)+C
	(t2+1)3		2	(1+t2)2

	1		√16−x2
∫√16−x2 =		x√16−x2+16arctg(		)+C
	2		4−x

∫√4x−x²dx √4x−x² = xt 4x−x² = x²t² 4−x = xt² 4 = x+xt² 4 = x(1+t²)

	4
x =
	1+t2

	0*(1+t2)−2t*4
dx =		dt
	(1+t2)2

	−8t
dx =		dt
	(1+t2)2

	4t
xt =		dt
	1+t2

	−32t2		−32t2−32t4		32t4
∫		dt = ∫		dt+∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)3		(1+t2)3

	−32t2		t2		32t4
∫		dt = −32∫		dt+∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)3

	−32t2		t2		(−8t3)(−4t)
∫		dt = −32∫		dt+∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)3

	−32t2		t2		−8t3		−24t2
∫		dt = −32∫		dt+		−∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)2		(1+t2)2

	−32t2		−8t3		−8t2
∫		dt =		+∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)2

	−32t2		−8t3		(4t)(−2t)
∫		dt =		+		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)2

	−32t2		−8t3		4t		4
∫		dt =		+		− ∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2		1+t2

	−32t2		−8t3		4t
∫		dt =		+		−4arctg(t)+C
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2

	−32t2		−8t3+4t(1+t2)
∫		dt =		−4arctg(t)+C
	(1+t2)3		(1+t2)2

	−32t2		−4t3+4t
∫		dt =		−4arctg(t)+C
	(1+t2)3		(1+t2)2

	−32t2		−1−t2		2		4t
∫		dt = (		+		)		−4arctg(t)+C
	(1+t2)3		1+t2		t2+1		t2+1

	−32t2		1		4		4t
∫		dt =		(−2+		)		−4arctg(t)+C
	(1+t2)3		2		t2+1		t2+1

	1		√4x−x2
∫√4x−x2dx =		(x−2)√4x−x2−4arctg(		)+C
	2		x

	x+y
arctg(x)+arctg(y) = arctg(		)
	1−xy

przy czym czasem trzeba będzie dodać do tego całkowitą wielokrotność liczby π