Suma szeregu potęgowego anonim123: Jak policzyć sumę szeregu https://zapodaj.net/35be8da27895e.jpg.html

anonim123: Dlaczego tutaj ma wyjść dla conajmniej x należy od −1 do 1 przedział otwarty jak to sprawdzić To jest drugie zadanie niezwiązane z poprzednim

anonim123: https://zapodaj.net/10e2033a011e0.jpg.html

anonim123: ?

Szkolniak: Pierwszego nie umiem, a w drugim zadaniu jakie tam masz polecenie, co trzeba zrobić? Drugie zadanie tzn. u Ciebie podpisane na kartce jako 'zad.3'

anonim123: znajdź sumę szeregu i mi wyszło dobrze tylko nie wiem skąd ten przedział?

Szkolniak: A tego to nie wiem, ale gdybyś chciała to podam jeszcze taki sposób:

	1		d
n=0∞∑xn=		|
	1−x		dx

	1
n=0∞∑(n+1)xn=
	(1−x)2

	1
1+n=1∞∑(n+1)xn=
	(1−x)2

	1−(1−x)2
n=1∞∑(n+1)xn=
	(1−x)2

	−x2+2x
n=1∞∑(n+1)xn=
	(1−x)2

Mariusz:

	π
Jeśli chodzi o 1. to wynikiem mogłoby być
	4

jednak problemem może być zbieżność szeregu dla x = 1

1		1
	=		= ∑n=0∞(−1)nx2n
1+x2		1−(−x2)

	1
∫0x		dt = ∫0x(∑n=0∞(−1)nt2n)
	1+t2

	1		(−1)nx2n+1
∫0x		dt = ∑n=0∞
	1+t2		2n+1

	(−1)nx2n+1
arctg(x) = ∑n=0∞
	2n+1

Szereg ten jest na pewno zbieżny dla |x| < 1 a rozbieżny dla |x| > 1 Dla x = 1 zbieżność wymaga zbadania

wredulus_pospolitus:

	(−1)n+1		1		1
∑n=1∞		= ∑k=1∞		−		=
	2n−1		4k−3		4k−1

	2
= ∑k=1∞
	(4k−1)(4k−3)

można łatwo zauważyć, że:

2		2		1
	<		=
(4k−1)(4k−3)		4k*4k		8k2

wniosek i po sprawie

jc: ∑_n=1^∞ (−1)ⁿ⁺¹ = ∑_k=1^∞ (1−1)=∑_k=1^∞ 0 = 0 wnioski?

wredulus_pospolitus: @jc ... rozumiem o co Ci chodzi, przemilczałem opisówkę którą trzeba by było dorzucić oraz pokazanie, że 'odpad' przy nieparzystym 'n' nie ma istotnego wpływu na sumę, ponieważ a_n −> 0